Jak určit monotónnost funkce?
Monotónnost funkce je vlastnost, která určuje, jestli je funkce rostoucí, nebo klesající, respektive nerostoucí (klesající nebo konstantní), nebo neklesající (rostoucí nebo konstantní). Intuitivně to znamená, jestli graf funkce roste, klesá, nebo je konstantní. V celé této části se předpokládá, že funkce je na daném intervalu, kde vyšetřuješ monotónnost, spojitá.
Na grafu funkce jsou vyznačené dva body odpovídající hodnotám proměnné x_1 a x_2. Těmto hodnotám proměnné odpovídají hodnoty funkce f\left(x_{1}\right) a f\left(x_{2}\right). Pokud je druhá hodnota proměnné (tj. x_2) větší než první (tj. x_1) a zároveň je větší také druhá funkční hodnota funkce (tj. f\left(x_2\right)) nežli první (tj. f\left(x_{1}\right)), pak je funkce rostoucí.
Když potřebuješ určit, zda je funkce na daném intervalu rostoucí, nebo klesající, tak funkci zderivuješ a prozkoumáš její hodnoty. Pokud je první derivace funkce na daném intervalu kladná, je funkce na tomto intervalu rostoucí.
Funkce je na daném intervalu rostoucí, protože tečny v každém bodě grafu rostou. Proto je její směrnice vždy kladná, a tedy je kladná i první derivace funkce.
Na dalším grafu funkce jsou vyznačené dva body odpovídající hodnotám proměnné x_1 a x_2. Těmto hodnotám proměnné odpovídají hodnoty funkce f\left(x_{1}\right) a f\left(x_{2}\right). Pokud je druhá hodnota proměnné (tj. x_2) větší než první (tj. x_{1}) a zároveň je menší druhá funkční hodnota funkce (tj. f\left(x_2\right)) než první (tj. f\left(x_{1}\right)), pak je funkce klesající.
Stejně jako u rostoucí funkce můžeš určit, zda je funkce klesající, pomocí první derivace. Pokud je tedy první derivace funkce na daném intervalu záporná, je funkce na tomto intervalu klesající.
Funkce je na daném intervalu klesající, protože tečna směřuje v každém bodě grafu dolů, tedy je klesající. Proto je její směrnice záporná, a tedy je záporná i první derivace funkce.
Obecně se intervaly, na kterých má první derivace zadané funkce stejné znaménko, nazývají intervaly monotónnosti.