Už zase ty asymptoty?
Určitě si vzpomínáš, že asymptota je přímka, ke které se graf funkce neustále a nekonečně přibližuje. V matematice se rozlišuji dva druhy asymptot. První druh se jmenuje asymptota bez směrnice.
Asymptota bez směrnice je přímka, která je kolmá na osu x. Její předpis je tedy x=a, k de a \in \mathbb{R}. Aby se jednalo - asymptotu bez směrnice, tak funkce nesmí být v daném bodě a definovaná, a aby přímka x=a mohla být asymptotou, tak musí mít funkce v bodě a alespoň jednu nevlastní jednostrannou limitu.
Funkce y=\frac{1}{x} není definována pro x=0. Limita funkce zleva v bodě 0 je minus nekonečno. Přímka x=0 tedy odpovídá definici pro asymptotu bez směrnice a asymptotou je. Na obrázku výše je vyznačena červeně, obvykle se asymptoty označují čárkovaně.
Druhým typem jsou asymptoty se směrnicí. Jsou to přímky, které Ize popsat směrnicovým tvarem y=a x+b, kde a a b jsou reálná čísla. Nejjednodušší asymptota se směrnicí je přímka y=x.
Na tomto obrázku je červeně vyznačená asymptota, která má nenulovou směrnici. Jedná se o přímku, která protíná osy a není kolmá na osu x ani osu y a graf funkce se k ní nekonečně blíží. Zeleně vyznačená asymptota je asymptotou bez směrnice, protože je rovnoběžná s osou y.
U zadaného předpisu funkce f(x) a směrnicového tvaru rovnice asymptoty ve tvaru y=a x+b platí:
\lim _{x \rightarrow \pm \infty}[f(x)-(a x+b)]=0
Ve vzorci jsou dvě limity. Jedna se blíží k plus nekonečnu a druhá k minus nekonečnu. Díky dané rovnosti můžeš odvodit vzorce, díky kterým určíš hodnoty pro a a b :
a=\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{f(x)}{x}
b=\lim _{x \rightarrow \pm \infty}(f(x)-a x)
Znaménko „士” ti říká, ať vypočítáš obě limity nejprve blížící se k plus nekonečnu a potom k minus nekonečnu. Pokud ti v prvním vzorci vyjde nevlastní limita (tj. že vyjde plus nebo minus nekonečno), znamená to, že příslušná asymptota se směrnicí neexistuje. Aby mohla asymptota existovat, tak musí vyjít konkrétní reálné číslo.