Shrnutí vlastností funkcí
Jedny z prvních vlastností funkcí jsou:
sudost - vztah: f(x)=f(-x),
lichost - vztah: -f(x)=f(-x),
periodicita - vztah: f(x)=f(x+k \cdot p).
Z pohledu monotonie může být funkce rostoucí, klesající, konstantní, nerostoucí či neklesající. To, jak se chová funkce na daném intervalu, zjistíš pomocí první derivace.
Pokud je první derivace funkce na daném intervalu kladná, je funkce na tomto intervalu rostoucí.
Je-li první derivace funkce na daném intervalu záporná, je funkce na intervalu klesající.
Další vlastností jsou extrémy funkce. U průběhu se určuje lokální maximum či minimum.
Ke zjištění maxima a minima potřebuješ určit stacionární body funkce, pro které platí, že pokud má daná funkce v bodě nějaký extrém, je její první derivace v tomto bodě nulová, popřípadě není definována (například u funkce f(x)=|x|).
Když znáš souřadnice stacionárního bodu, koukneš se, jak se funkce v tomto bodě mění:
jestliže se funkce mění z rostoucí na klesající, je v daném bodě lokální maximum,
pokud se funkce mění z klesající na rostoucí, tak je v tomto bodě lokální minimum.
Další vlastností funkce je konvexnost a konkávnost. Konvexní funkce je tvaru „U”. Konkávní funkce je tvaru „∩”.
V inflexním bodě se mění funkce z konvexní na konkávní či opačně. Pro inflexní bod platí, že druhá derivace v tomto bodě se rovná nule.
Určit konvexnost a konkávnost Ize jednoduše pomocí druhé derivace:
vyjde-li druhá derivace kladně, je na daném intervalu konvexní,
jestliže vyjde na daném intervalu druhá derivace záporně, jde o konkávnost.
Funkce může mít asymptoty, což jsou přímky, ke kterým se nekonečně přibližuje.
Asymptoty bez směrnice jsou kolmé na osu x a mají tvar x=a. Funkce nesmí být v bodě a definována a musí mít v bodě a alespoň jednu jednostrannou limitu.
Asymptoty se směrnicí jsou přímky, které nejsou na osu x kolmé a mají tvar y=a x+b. Dokonce mohou být i dvě. Směrnici vypočítáš podílem funkčního předpisu a proměnné x. Poté vypočítáš limitu nově vzniklého výrazu vzhledem k plus a minus nekonečnu.
a=\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{f(x)}{x}
Konstantní člen b směrnicového tvaru asymptoty vypočítáš jako rozdíl předpisu funkce a členu a x. Poté vypočítáš limitu nově vytvořeného výrazu vzhledem k plus a minus nekonečnu.
b=\lim _{x \rightarrow \pm \infty}(f(x)-a x)
Jakmile vypočteš směrnici a konstantní člen, dosadíš je do rovnice ve směrnicovém tvaru. Tak určíš asymptotu a její tvar.