Jaké jsou vlastnosti limit posloupností?
Jak už víš, ne každá posloupnost má limitu. První vlastností, kterou se naučíš, je maximální počet limit. Každá posloupnost může mít nejvýše jednu limitu. Nemusíš se zatěžovat matematickým důkazem, stačí, když se podíváš na znázornění na obrázku.
Na obrázku níže je graficky znázorněná posloupnost a_{n}=\frac{1}{2 n}+0,5.
Představ si, že by posloupnost měla dvě limity. Jednu v bodě 0,5, jejíž okolí vybarvíš zeleně, a druhou v bodě 0,7, jejíž okolí vybarvíš modře. Tam, kde se obě okolí překrývají, je modro-zelené šrafování. Vidíš, že první body leží v okolí čísla 0,7. Další body se ale od této uhádnuté „limity” vzdalují a od a_{8} už body neleží v okolí čísla 0,7, ale pouze v okolí čísla 0,5. Hodnota 0,5 je limitou této posloupnosti.
Limita je číslo, ke kterému se přibližují hodnoty členů posloupnosti. Posloupnost se nemůže přibližovat dvěma různým bodům zároveň. Sice to ze začátku může vypadat, že se body přibližují číslu 0,7, ale v určitou chvíli už se od tohoto čísla zase začínají vzdalovat. A pro limitu je rozhodující nikoliv začátek posloupnosti, ale její „konec” všechny členy od určitého členu dál až do nekonečna.