A co konvergence u aritmetických a geometrických posloupností?
Pro připomenutí: Posloupnost se nazývá aritmetická, právě když existuje takové reálné číslo d, že pro každé přirozené číslo n platí a_{n+1}=a_{n}+d. Pokud bude mít aritmetická posloupnost diferenci d=0, pak bude tato posloupnost konstantní, a tudíž bude konvergentní. Pokud bude diference d \neq 0, pak nebude tato posloupnost omezená, tudíž bude divergentní.
Co posloupnost geometrická? Posloupnost se nazývá geometrická, právě když existuje takové reálné číslo q, že pro každé přirozené číslo n platí a_{n+1}=a_{n} \cdot q. Zapsáno pomocí přímého vzorce pro n-tý člen a_{n}=a_{1} \cdot q^{n-1}, kde:
Když q bude větší než jedna, poroste výraz q^{n-1} do nekonečna, tedy posloupnost nebude omezená, bude divergentní.
Když q bude rovno jedné, pak výraz q^{n-1} bude konstantní (tj. roven jedné). Posloupnost proto bude konstantní, tedy konvergentní. Hodnota limity se rovná členu a_{1}.
Když q bude v intervalu (-1; 1), pak bude posloupnost konvergentní, limitou bude nula.
Když q bude rovno minus jedné, pak, bude-li a_{1}=1, každý lichý člen bude roven jedné, každý sudý pak minus jedné. Takováto posloupnost je divergentní.
Když q bude menší než minus jedna, absolutní hodnota q^{n-1} opět poroste do nekonečna. Rozdíl od předchozího případu je jen ve znaménku, které u každého druhého členu bude záporné. Posloupnost nebude omezená, bude divergentní.