Vzorečky k výpočtům
1. Obecný trojúhelník (To, co platí pro všechny)
Než začneme počítat složitosti, musíme mít v malíku základy.
A) Obvod ($o$)
Jednoduše sečteme délky všech tří stran. Představ si, že jdeš kolem pozemku a měříš plot.
\( o = a + b + c \)
B) Obsah ($S$)
Tohle je nejdůležitější vzoreček pro plochu. Pamatuj si: Strana a k ní příslušná výška.
\( $S = \frac{a \cdot v_a}{2} = \frac{b \cdot v_b}{2} = \frac{c \cdot v_c}{2}$ \)
Proč to tak je?
Představ si trojúhelník jako polovinu obdélníku (nebo rovnoběžníku). Obsah obdélníku je\( $a \cdot b$. \) Protože trojúhelník je jen půlka, dělíme dvěma.
Na co si dát pozor:
Vždycky musíš násobit stranu s její výškou (tou, která na ni dopadá pod pravým úhlem). Nikdy nekombinuj stranu \( $a$ \) s výškou \( $v_b$ \)!
C) Úhly
Součet vnitřních úhlů v jakémkoliv trojúhelníku je vždy \( $180^\circ$ \).
\( \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \)
2. Pravoúhlý trojúhelník (Král přijímaček)
Pokud v zadání vidíš pravý úhel (nebo slovo "kolmo"), okamžitě zpozorni. Tady platí speciální pravidla.
A) Pythagorova věta
Základní nástroj pro výpočet délek stran. Platí jen v pravoúhlém trojúhelníku. - TU probíráme v jiném tématu, tady je zmíněna jen pro úplnost.
\( c^2 = a^2 + b^2 \)
c (přepona): Nejdelší strana, leží naproti pravému úhlu.
a, b (odvěsny): Kratší strany, které svírají pravý úhel (tvoří písmeno L).
Tip: Pokud máš vypočítat přeponu (nejdelší stranu), ve vzorci se sčítá. Pokud počítáš odvěsnu (kratší stranu), musíš odčítat (\( $a^2 = c^2 - b^2$ \)).
B) Obsah pravoúhlého trojúhelníku
Tady je to jednodušší. Nemusíš hledat výšku, protože odvěsny jsou zároveň výškami!
\( S = \frac{a \cdot b}{2} \)
(Vynásobíš dvě strany, které svírají pravý úhel, a vydělíš dvěma).
C) Thaletova kružnice
Pokud máš kružnici a její průměr tvoří jednu stranu trojúhelníku (např. AB), pak jakýkoliv bod C na kružnici vytvoří u vrcholu C pravý úhel (\( $90^\circ$ \)).
3. Speciální typy trojúhelníků
A) Rovnoramenný trojúhelník
Má dvě strany stejně dlouhé (ramena) a jednu jinou (základna).
Vlastnost: Úhly u základny jsou shodné (stejně velké).
Strategie: Výška na základnu ji rozdělí přesně na polovinu. Tím vzniknou dva shodné pravoúhlé trojúhelníky.
B) Rovnostranný trojúhelní
Všechny strany jsou stejně dlouhé (a = b = c).
Všechny úhly mají přesně \( $60^\circ$. \)
4. Podobnost trojúhelníků
V CERMAT testech často musíš dopočítat stranu ve zvětšeném nebo zmenšeném trojúhelníku.
Dva trojúhelníky jsou podobné, pokud mají shodné úhly (věta uu) nebo stejný poměr stran (věta sss).
Koeficient podobnosti ($k$)
Udává, kolikrát je druhý trojúhelník větší (nebo menší) než ten první.
\( k = \frac{\text{nová strana}}{\text{původní strana}} \)
Pokud je \( $k > 1$ \), trojúhelník se zvětšuje.
Pokud je \( $k < 1$, \) trojúhelník se zmenšuje.
Jak počítat:
Najdi dvě strany, které si odpovídají (např. přepona malého a přepona velkého).
Vyděl je a zjisti \( k \)Vynásob tímto číslem ostatní strany, abys zjistil jejich novou délku.