1. Obecný trojúhelník (To, co platí pro všechny)

Než začneme počítat složitosti, musíme mít v malíku základy.

A) Obvod (o)

Jednoduše sečteme délky všech tří stran. Představ si, že jdeš kolem pozemku a měříš plot.

$ o = a + b + c $

B) Obsah (S)

Tohle je nejdůležitější vzoreček pro plochu. Pamatuj si: Strana a k ní příslušná výška.

$ S=\frac{a \cdot v_a}{2}=\frac{b \cdot v_b}{2}=\frac{c \cdot v_c}{2} $

Proč to tak je?
Představ si trojúhelník jako polovinu obdélníku (nebo rovnoběžníku). Obsah obdélníku je$ $a \cdot b$. $ Protože trojúhelník je jen půlka, dělíme dvěma.

Na co si dát pozor:

Vždycky musíš násobit stranu s její výškou (tou, která na ni dopadá pod pravým úhlem). Nikdy nekombinuj stranu $ a $ s výškou $ v_{b} $!

C) Úhly

Součet vnitřních úhlů v jakémkoliv trojúhelníku je vždy $ 180^{\circ} $.

$ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ $

2. Pravoúhlý trojúhelník (Král přijímaček)

Pokud v zadání vidíš pravý úhel (nebo slovo "kolmo"), okamžitě zpozorni. Tady platí speciální pravidla.

A) Pythagorova věta

Základní nástroj pro výpočet délek stran. Platí jen v pravoúhlém trojúhelníku. - TU probíráme v jiném tématu, tady je zmíněna jen pro úplnost.

$ c^2=a^2+b^2 $

c (přepona): Nejdelší strana, leží naproti pravému úhlu.
a, b (odvěsny): Kratší strany, které svírají pravý úhel (tvoří písmeno L).

Tip: Pokud máš vypočítat přeponu (nejdelší stranu), ve vzorci se sčítá. Pokud počítáš odvěsnu (kratší stranu), musíš odčítat ($ a^2=c^2-b^2 $).

B) Obsah pravoúhlého trojúhelníku

Tady je to jednodušší. Nemusíš hledat výšku, protože odvěsny jsou zároveň výškami!

$ S = \frac{a \cdot b}{2} $

(Vynásobíš dvě strany, které svírají pravý úhel, a vydělíš dvěma).

C) Thaletova kružnice

Pokud máš kružnici a její průměr tvoří jednu stranu trojúhelníku (např. AB), pak jakýkoliv bod C na kružnici vytvoří u vrcholu C pravý úhel ($ 90^{\circ} $).

3. Speciální typy trojúhelníků

A) Rovnoramenný trojúhelník

Má dvě strany stejně dlouhé (ramena) a jednu jinou (základna).

Vlastnost: Úhly u základny jsou shodné (stejně velké).
Strategie: Výška na základnu ji rozdělí přesně na polovinu. Tím vzniknou dva shodné pravoúhlé trojúhelníky.

B) Rovnostranný trojúhelní

Všechny strany jsou stejně dlouhé (a = b = c).
Všechny úhly mají přesně $ 60^{\circ}. $

4. Podobnost trojúhelníků

V CERMAT testech často musíš dopočítat stranu ve zvětšeném nebo zmenšeném trojúhelníku.

Dva trojúhelníky jsou podobné, pokud mají shodné úhly (věta uu) nebo stejný poměr stran (věta sss).

Koeficient podobnosti ($ k $)

Udává, kolikrát je druhý trojúhelník větší (nebo menší) než ten první.

$ k = \frac{\text{nová strana}}{\text{původní strana}} $

Pokud je $ k>1 $, trojúhelník se zvětšuje.
Pokud je $ k<1, $ trojúhelník se zmenšuje.

Jak počítat:

Najdi dvě strany, které si odpovídají (např. přepona malého a přepona velkého).
1. Vyděl je a zjisti $ k. $ Vynásob tímto číslem ostatní strany, abys zjistil jejich novou délku.

Vzorečky k výpočtům