Dôkaz matematickou indukciou pre sumu mocnín štyroch
Dokáž matematickou indukciou pre \( \forall n \in \mathbb{N}: 1+4+4^{2}+4^{3}+\ldots+4^{n-1}=\frac{1}{3}\left(4^{n}-1\right) \).
V indukčnom kroku pripočítaš k ľavej strane indukčného predpokladu ďalší člen súčtu členov postupnosti a dokážeš platnosť:
\( 1+4+4^{2}+4^{3}+\ldots+4^{k-1}+4^{k}=\frac{1}{3}\left(4^{k-1}\right)+4^{k}=\frac{1}{3}\left(4^{k+1}+1\right) \)
V indukčnom kroku pripočítaš k ľavej strane indukčného predpokladu ďalší člen súčtu členov postupnosti a dokážeš platnosť:
\( 1+4+4^{2}+4^{3}+\ldots+4^{k-1}+4^{k}=\frac{1}{3}\left(4^{k-1}\right)+4^{k}=\frac{1}{3}\left(4^{k+2}-1\right) \)
V indukčnom kroku pripočítaš k ľavej strane indukčného predpokladu ďalší člen súčtu členov postupnosti a dokážeš platnosť:
\( 1+4+4^{2}+4^{3}+\ldots+4^{k-1}+4^{k}=\frac{1}{3}\left(4^{k-1}\right)+4^{k}=\frac{1}{3}\left(4^{k}-1\right) \)
V indukčnom kroku pripočítaš k ľavej strane indukčného predpokladu ďalší člen súčtu členov postupnosti a dokážeš platnosť:
\( 1+4+4^{2}+4^{3}+\ldots+4^{k-1}+4^{k}=\frac{1}{3}\left(4^{k-1}\right)+4^{k}=\frac{1}{3}\left(4^{k+1}-1\right) \)