Analýza konvexnosti a konkávnosti funkce
Urči, na kterém intervalu je funkce konvexní a konkávní. Najdi všechny inflexní body:
\( i(x)=\frac{x^{3}}{x^{3}+1} \)
Funkce je konvexní na intervalu \( (-\infty ;-3) \) a \( \left(0 ; \frac{\sqrt{4^{2}}}{4}\right) \) a konkávní je na intervalu \( (-3 ; 0) \) a \( \left(\frac{\sqrt[3]{4^{2}}}{4} ; \infty\right) \). Inflexní bod je \( [0 ; 2] \) a \( \left[\frac{\sqrt[3]{4^{2}}}{4} ; \frac{3}{3}\right] \).
Funkce je konvexní na intervalu \( (-\infty ;-2) \) a \( \left(0 ; \frac{\sqrt{3^{2}}}{3}\right) \) a konkávní je na intervalu \( (-2 ; 0) \) a \( \left(\frac{\sqrt[3]{3^{2}}}{3} ; \infty\right) \). Inflexní bod je \( [0 ; 1] \) a \( \left[\frac{\sqrt[3]{3^{2}}}{3} ; \frac{2}{3}\right] \).
Funkce je konvexní na intervalu \( (-\infty ;-4) \) a \( \left(0 ; \frac{\sqrt{5^{2}}}{5}\right) \) a konkávní je na intervalu \( (-4 ; 0) \) a \( \left(\frac{\sqrt[3]{5^{2}}}{5} ; \infty\right) \). Inflexní bod je \( [0 ; 3] \) a \( \left[\frac{\sqrt[3]{5^{2}}}{5} ; \frac{4}{3}\right] \).
Funkce je konvexní na intervalu \( (-\infty ;-1) \) a \( \left(0 ; \frac{\sqrt{2^{2}}}{2}\right) \) a konkávní je na intervalu \( (-1 ; 0) \) a \( \left(\frac{\sqrt[3]{2^{2}}}{2} ; \infty\right) \). Inflexní bod je \( [0 ; 0] \) a \( \left[\frac{\sqrt[3]{2^{2}}}{2} ; \frac{1}{3}\right] \).