Posloupnost a_{n} má nevlastní limitu plus nekonečno, právě když pro každé reálné číslo K existuje n_{0} takové, že pro všechna přirozená čísla n \geq n_{0} je a_{n}>K.

\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\infty

Co to znamená? Jak si vzpomínáš, tak v definici vlastní limity číslo \varepsilon znamenalo okolí limity, kam musely od určitého bodu (od určitého n_{0}) už všechny další členy spadat, ať už bylo \varepsilon jakékoliv. Tady je to podobné, jen se nebere okolí limity \varepsilon z obou stran, ale protože je nekonečno takový strop, nad kterým už nic neleží, Ize jej ohraničit pomocí K jen zespodu. Od určitého členu, odpovídajícího n_{0}, už pak tedy všechny další členy musejí být větší, než je tato hranice K.

Pro názornost si zkus představit, že máš posloupnost a_{n}=n. První člen je roven 1, druhý 2 atd. Nakreslíš si do grafu prvních několik členů této posloupnosti.

Vidíš, že tato posloupnost neustále roste. Když by se nakreslila hranice K například v čísle 4,5, pak od pátého členu už by všechny další členy vždy byly vyšší, než je tato hranice. Kdyby se stanovila hranice třeba v čísle milion, stejně by od určitého členu (pro tuto posloupnost by to byl miliontý první člen) už všechny další byly větší než tato hranice. Posloupnost a_{n}=n roste do nekonečna. Její nevlastní limitou je plus nekonečno.

Tak nejdřív to plus nekonečno!