Priamy dôkaz deliteľnosti výrazu
Dokáž nasledujúce tvrdenie priamym dôkazom:
\( \forall n \in \mathbb{N}: n^{4}+n^{2} \) je deliteľné 2
Pre párne \( n \), kde \( n=2 k:(2 k)^{4}+(2 k)^{2}=16 k^{4}+4 k^{2}=2\left(8 k^{4}+2 k^{2}\right) \) \( \rightarrow \) áno, výraz je deliteľný dvoma.
Pre nepárne \( n \), kde \( n=2 k+1:(2 k+1)^{4}+(2 k+1)^{2}= \)
\( \begin{array}{l} =(2 k+1)^{2} \cdot(2 k+1)^{2}+(2 k+1)^{2}= \\ =\left(4 k^{2}+4 k+1\right) \cdot\left(4 k^{2}+4 k+1\right)+4 k^{2}+4 k+1= \\ =16 k^{4}+16 k^{3}+4 k^{2}+16 k^{3}+16 k^{2}+4 k+4 k^{2}+4 k+1+4 k^{2}+4 k+1= \\ =16 k^{4}+32 k^{3}+28 k^{2}+12 k+2=2\left(8 k^{4}+16 k^{3}+14 k^{2}+6 k+1\right) \end{array} \)
\( \rightarrow \) áno, výraz je
Pre párne \( n \), kde \( n=2 k:(2 k)^{4}+(2 k)^{2}=16 k^{4}+4 k^{2}=4\left(8 k^{4}+2 k^{2}\right) \) \( \rightarrow \) áno, výraz je deliteľný štyrmi.
Pre nepárne \( n \), kde \( n=2 k+1:(2 k+1)^{4}+(2 k+1)^{2}= \)
\( \begin{array}{l} =(2 k+1)^{2} \cdot(2 k+1)^{2}+(2 k+1)^{2}= \\ =\left(4 k^{2}+4 k+1\right) \cdot\left(4 k^{2}+4 k+1\right)+4 k^{2}+4 k+1= \\ =16 k^{4}+16 k^{3}+4 k^{2}+16 k^{3}+16 k^{2}+4 k+4 k^{2}+4 k+1+4 k^{2}+4 k+1= \\ =16 k^{4}+32 k^{3}+28 k^{2}+12 k+2=4\left(8 k^{4}+16 k^{3}+14 k^{2}+6 k+1\right) \end{array} \)
\( \rightarrow \) áno, výraz je
Pre párne \( n \), kde \( n=2 k:(2 k)^{4}+(2 k)^{2}=16 k^{4}+4 k^{2}=3\left(8 k^{4}+2 k^{2}\right) \) \( \rightarrow \) áno, výraz je deliteľný troma.
Pre nepárne \( n \), kde \( n=2 k+1:(2 k+1)^{4}+(2 k+1)^{2}= \)
\( \begin{array}{l} =(2 k+1)^{2} \cdot(2 k+1)^{2}+(2 k+1)^{2}= \\ =\left(4 k^{2}+4 k+1\right) \cdot\left(4 k^{2}+4 k+1\right)+4 k^{2}+4 k+1= \\ =16 k^{4}+16 k^{3}+4 k^{2}+16 k^{3}+16 k^{2}+4 k+4 k^{2}+4 k+1+4 k^{2}+4 k+1= \\ =16 k^{4}+32 k^{3}+28 k^{2}+12 k+2=3\left(8 k^{4}+16 k^{3}+14 k^{2}+6 k+1\right) \end{array} \)
\( \rightarrow \) áno, výraz je
Pre párne \( n \), kde \( n=2 k:(2 k)^{4}+(2 k)^{2}=16 k^{4}+4 k^{2}=2\left(8 k^{4}+2 k^{2}\right) \) \( \rightarrow \) nie, výraz nie je deliteľný dvoma.
Pre nepárne \( n \), kde \( n=2 k+1:(2 k+1)^{4}+(2 k+1)^{2}= \)
\( \begin{array}{l} =(2 k+1)^{2} \cdot(2 k+1)^{2}+(2 k+1)^{2}= \\ =\left(4 k^{2}+4 k+1\right) \cdot\left(4 k^{2}+4 k+1\right)+4 k^{2}+4 k+1= \\ =16 k^{4}+16 k^{3}+4 k^{2}+16 k^{3}+16 k^{2}+4 k+4 k^{2}+4 k+1+4 k^{2}+4 k+1= \\ =16 k^{4}+32 k^{3}+28 k^{2}+12 k+2=2\left(8 k^{4}+16 k^{3}+14 k^{2}+6 k+1\right) \end{array} \)
\( \rightarrow \) nie, výraz