Matematická indukce
Je dán výraz: \( \mathrm{V}(n)=2 n^{3}+2 n \). Dokaž, že:
platí \( \forall n \in \mathbb{N} ; 2 \operatorname{IV}(n) \Rightarrow 2 \mathrm{IV}(n-1) \)
Přímý důkaz: \( \mathrm{V}(n)=3\left(n^{3}+n\right) \rightarrow \) je dělitelný třemi; \( V(n-1)=3\left[(n-1)^{3}+n-1\right] \rightarrow \) je dělitelný třemi. Oba výrazy jsou dělitelné třemi, tudíž tvrzení platí.
Přímý důkaz: \( \mathrm{V}(n)=2\left(n^{3}+n\right) \rightarrow \) není dělitelný dvěma; \( V(n-1)=2\left[(n-1)^{3}+n-1\right] \rightarrow \) není dělitelný dvěma. Oba výrazy nejsou dělitelné dvěma, tudíž tvrzení neplatí.
Přímý důkaz: \( \mathrm{V}(n)=2\left(n^{3}+n\right) \rightarrow \) je dělitelný čtyřmi; \( V(n-1)=2\left[(n-1)^{3}+n-1\right] \rightarrow \) je dělitelný čtyřmi. Oba výrazy jsou dělitelné čtyřmi, tudíž tvrzení platí.
Přímý důkaz: \( \mathrm{V}(n)=2\left(n^{3}+n\right) \rightarrow \) je dělitelný dvěma; \( V(n-1)=2\left[(n-1)^{3}+n-1\right] \rightarrow \) je dělitelný dvěma. Oba výrazy jsou dělitelné dvěma, tudíž tvrzení platí.