Matematická indukce pro posloupnost zlomků
Dokaž matematickou indukcí pro \( \forall n \in \mathbb{N} \) :
\( \frac{1}{1 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 7}+\frac{1}{7 \cdot 10}+\ldots+\frac{1}{(3 n-2)(3 n+1)}=\frac{n}{3 n+1} \)
Dosazením jedničky za \( n \) dostaneš rovnost pro \( n=1 \). \( \checkmark \) indukčním kroku potom dokaž, že platí:
\( \frac{k}{3 k+1}+\frac{1}{(3 k+1)(3 k+4)}=\frac{k+1}{3 k+4} \)
Dosazením trojky za \( n \) dostaneš rovnost pro \( n=3 \). \( \checkmark \) indukčním kroku potom dokaž, že platí:
\( \frac{k}{3 k+1}+\frac{1}{(3 k+1)(3 k+4)}=\frac{k+1}{3 k+3} \)
Dosazením dvojky za \( n \) dostaneš rovnost pro \( n=2 \). \( \checkmark \) indukčním kroku potom dokaž, že platí:
\( \frac{k}{3 k+1}+\frac{1}{(3 k+1)(3 k+4)}=\frac{k+1}{3 k+5} \)
Dosazením nuly za \( n \) dostaneš rovnost pro \( n=0 \). \( \checkmark \) indukčním kroku potom dokaž, že platí:
\( \frac{k}{3 k+1}+\frac{1}{(3 k+1)(3 k+4)}=\frac{k+2}{3 k+4} \)