Důkaz dělitelnosti
Dokaž následující tvrzení přímým důkazem:
\( \forall n \in \mathbb{N}: n^{4}+n^{2} \) je dělitelné dvěma
Pro sudá \( n \), kde \( n=2 k:(2 k)^{4}+(2 k)^{2}=16 k^{4}+4 k^{2}=7\left(8 k^{4}+2 k^{2}\right) \) \( \rightarrow \) ano, výraz je dělitelný sedmi.
Pro lichá \( n \), kde \( n=2 k+1:(2 k+1)^{4}+(2 k+1)^{2}= \)
\( \begin{array}{l} =(2 k+1)^{2} \cdot(2 k+1)^{2}+(2 k+1)^{2}= \\ =\left(4 k^{2}+4 k+1\right) \cdot\left(4 k^{2}+4 k+1\right)+4 k^{2}+4 k+1= \\ =16 k^{4}+16 k^{3}+4 k^{2}+16 k^{3}+16 k^{2}+4 k+4 k^{2}+4 k+1+4 k^{2}+4 k+1= \\ =16 k^{4}+32 k^{3}+28 k^{2}+12 k+2=7\left(8 k^{4}+16 k^{3}+14 k^{2}+6 k+1\right) \end{array} \)
\( \rightarrow \) ano, výraz je děl
Pro sudá \( n \), kde \( n=2 k:(2 k)^{4}+(2 k)^{2}=16 k^{4}+4 k^{2}=2\left(8 k^{4}+2 k^{2}\right) \) \( \rightarrow \) ano, výraz je dělitelný dvěma.
Pro lichá \( n \), kde \( n=2 k+1:(2 k+1)^{4}+(2 k+1)^{2}= \)
\( \begin{array}{l} =(2 k+1)^{2} \cdot(2 k+1)^{2}+(2 k+1)^{2}= \\ =\left(4 k^{2}+4 k+1\right) \cdot\left(4 k^{2}+4 k+1\right)+4 k^{2}+4 k+1= \\ =16 k^{4}+16 k^{3}+4 k^{2}+16 k^{3}+16 k^{2}+4 k+4 k^{2}+4 k+1+4 k^{2}+4 k+1= \\ =16 k^{4}+32 k^{3}+28 k^{2}+12 k+2=2\left(8 k^{4}+16 k^{3}+14 k^{2}+6 k+1\right) \end{array} \)
\( \rightarrow \) ano, výraz je děl
Pro sudá \( n \), kde \( n=2 k:(2 k)^{4}+(2 k)^{2}=16 k^{4}+4 k^{2}=5\left(8 k^{4}+2 k^{2}\right) \) \( \rightarrow \) ano, výraz je dělitelný pěti.
Pro lichá \( n \), kde \( n=2 k+1:(2 k+1)^{4}+(2 k+1)^{2}= \)
\( \begin{array}{l} =(2 k+1)^{2} \cdot(2 k+1)^{2}+(2 k+1)^{2}= \\ =\left(4 k^{2}+4 k+1\right) \cdot\left(4 k^{2}+4 k+1\right)+4 k^{2}+4 k+1= \\ =16 k^{4}+16 k^{3}+4 k^{2}+16 k^{3}+16 k^{2}+4 k+4 k^{2}+4 k+1+4 k^{2}+4 k+1= \\ =16 k^{4}+32 k^{3}+28 k^{2}+12 k+2=5\left(8 k^{4}+16 k^{3}+14 k^{2}+6 k+1\right) \end{array} \)
\( \rightarrow \) ano, výraz je děli
Pro sudá \( n \), kde \( n=2 k:(2 k)^{4}+(2 k)^{2}=16 k^{4}+4 k^{2}=3\left(8 k^{4}+2 k^{2}\right) \) \( \rightarrow \) ano, výraz je dělitelný třemi.
Pro lichá \( n \), kde \( n=2 k+1:(2 k+1)^{4}+(2 k+1)^{2}= \)
\( \begin{array}{l} =(2 k+1)^{2} \cdot(2 k+1)^{2}+(2 k+1)^{2}= \\ =\left(4 k^{2}+4 k+1\right) \cdot\left(4 k^{2}+4 k+1\right)+4 k^{2}+4 k+1= \\ =16 k^{4}+16 k^{3}+4 k^{2}+16 k^{3}+16 k^{2}+4 k+4 k^{2}+4 k+1+4 k^{2}+4 k+1= \\ =16 k^{4}+32 k^{3}+28 k^{2}+12 k+2=3\left(8 k^{4}+16 k^{3}+14 k^{2}+6 k+1\right) \end{array} \)
\( \rightarrow \) ano, výraz je děl