Nepriamy dôkaz deliteľnosti
Dokáž nepriamym dôkazom,, že platí nasledujúce tvrdenie:
\( \forall n \in \mathbb{N}: 3 \mid\left(n^{2}+1\right) \Rightarrow 3 \nmid n \)
Obmenená implikácia je \( 3 \nmid n \Rightarrow 3 \mid\left(n^{2}+1\right) \) : pre \( n=3 k+1:(3 k+1)^{2}+1=9 k^{2}+6k+2 \) \( \rightarrow \) možno upraviť na tvar \( 3 k+2 \), takže výraz je deliteľný 3 , čo je podľa zloženého výroku nesprávne, a preto je tvrdenie nepravdivé.
Obmenená implikácia je \( 3 \nmid n \Rightarrow 3 \nmid\left(n^{2}+1\right) \) : pre \( n=3 k+2:(3 k+2)^{2}+1=9 k^{2}+12k+5 \) \( \rightarrow \) možno upraviť na tvar \( 3 k+5 \), takže výraz nie je deliteľný 3 , čo je podľa zloženého výroku nesprávne, a preto je tvrdenie nepravdivé.
Obmenená implikácia je \( 3 \mid n \Rightarrow 3 \mid\left(n^{2}+1\right) \) : pre \( n=3 k:(3 k)^{2}+1=9 k^{2}+1 \) \( \rightarrow \) možno upraviť na tvar \( 3 k \), takže výraz je deliteľný 3 , čo je podľa zloženého výroku nesprávne, a preto je tvrdenie nepravdivé.
Obmenená implikácia je \( 3 \mid n \Rightarrow 3 \nmid\left(n^{2}+1\right) \) : pre \( n=3 k:(3 k)^{2}+1=9 k^{2}+1 \) \( \rightarrow \) nemožno upraviť na tvar \( 3 k \), takže výraz nie je deliteľný 3 , čo je podľa zloženého výroku v poriadku, a preto je tvrdenie pravdivé.