Nepriamy dôkaz matematického tvrdenia
Dokáž nepriamym dôkazom,, že platí nasledujúce tvrdenie:
\( \forall n \in \mathbb{N}: 3 \nmid n^{3} \Rightarrow 9 \nmid n \)
Obmenená implikácia je \( 9|n \Rightarrow 2| n^{3} \) : pre \( n=9 k:(9 k)^{3}=9^{3} \cdot k^{3}=2\left(243 k^{3}\right) \). Výraz po umocnení je deliteľný 2 , čo je podľa zloženého výroku v poriadku, a preto je tvrdenie pravdivé.
Obmenená implikácia je \( 9|n \Rightarrow 3| n^{2} \) : pre \( n=9 k:(9 k)^{2}=9^{2} \cdot k^{2}=3\left(81 k^{2}\right) \). Výraz po umocnení je deliteľný 3 , čo je podľa zloženého výroku v poriadku, a preto je tvrdenie pravdivé.
Obmenená implikácia je \( 9|n \Rightarrow 5| n^{3} \) : pre \( n=9 k:(9 k)^{3}=9^{3} \cdot k^{3}=5\left(243 k^{3}\right) \). Výraz po umocnení je deliteľný 5 , čo je podľa zloženého výroku v poriadku, a preto je tvrdenie pravdivé.
Obmenená implikácia je \( 9|n \Rightarrow 3| n^{3} \) : pre \( n=9 k:(9 k)^{3}=9^{3} \cdot k^{3}=3\left(243 k^{3}\right) \). Výraz po umocnení je deliteľný 3 , čo je podľa zloženého výroku v poriadku, a preto je tvrdenie pravdivé.