Připomeneš si, co vlastně znamená dokazování sporem. Chce se po tobě vytvořit negaci původního výroku a dokázat u ní, že neplatí. Když dojdeš k závěru, že neplatí negace, tak poté původní tvrzení platí. V zadání máš implikaci, již musíš dokázat pro všechna přirozená čísla \( \mathbb{N} \).

Máš tu případ, kdy v první části negace je \( n^2 \). Aby se ti lépe dokazovalo, bude lepší udělat nejdřív obměnu a poté její negaci, protože v první části výroku budeš mít n, což ti ulehčí práci. Uvědomíš si, že čísla jsou buď sudá nebo lichá. Pokud nejsou lichá, jsou sudá. V negaci pak bude lepší pro následné úpravy mít „sudé“, než „není liché“.

Jedná se o implikaci ¬b ⇒ ¬a.

Výrok bude znít: Je-li n sudé, pak je \( n^2 \) sudé.

Teď ještě uděláš negaci a můžeš se pustit do dokazování sporem. Negací této implikace je konjunkce ¬b ∧ a.

Negace zní: n je sudé a zároveň \( n^2 \) je liché (není sudé).

Víš, že n je sudé. Můžeš si jej vyjádřit jako \( n=2k \).

Tvar \( n=2k \) dosadíš za \( n^2 \). Poté dostaneš \( n^{2} = (2k)^{2} = 4k^{2} \).

Vytkneš číslo 2 a uvidíš, jestli \( n^2 \) je či není dělitelné dvěma.

Důkaz sporem o lichých číslech