Analýza konvexity a konkávnosti funkce
Urči, na kterém intervalu je funkce konvexní a konkávní. Najdi všechny inflexní body:
\( j(x)=\frac{x}{x^{2}+0,25} \)
Funkce je konkávní na intervalu \( \left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right) \) a \( \left(0 ; \frac{1}{2}\right) \) a konvexní je na intervalu \( \left(-\frac{1}{2} ; 0\right) \) a \( \left(\frac{1}{2} ; \infty\right) \). Inflexní bod je \( \left[-\frac{1}{2} ;-\frac{1}{2}\right],[0 ; 0] \) a \( \left[\frac{1}{2} ; \frac{1}{2}\right] \).
Funkce je konkávní na intervalu \( \left(-\infty ;-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \) a \( \left(0 ; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \) a konvexní je na intervalu \( \left(-\frac{\sqrt{3}}{2} ; 0\right) \) a \( \left(\frac{\sqrt{3}}{2} ; \infty\right) \). Inflexní bod je \( \left[-\frac{\sqrt{3}}{2} ;-\frac{\sqrt{3}}{2}\right],[0 ; 0] \) a \( \left[\frac{\sqrt{3}}{2} ; \frac{\sqrt{3}}{2}\right] \).
Funkce je konkávní na intervalu \( \left(-\infty ;-1\right) \) a \( \left(0 ; 1\right) \) a konvexní je na intervalu \( \left(-1 ; 0\right) \) a \( \left(1 ; \infty\right) \). Inflexní bod je \( \left[-1 ;-1\right],[0 ; 0] \) a \( \left[1 ; 1\right] \).
Funkce je konkávní na intervalu \( \left(-\infty ;-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \) a \( \left(0 ; \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \) a konvexní je na intervalu \( \left(-\frac{\sqrt{2}}{2} ; 0\right) \) a \( \left(\frac{\sqrt{2}}{2} ; \infty\right) \). Inflexní bod je \( \left[-\frac{\sqrt{2}}{2} ;-\frac{\sqrt{2}}{2}\right],[0 ; 0] \) a \( \left[\frac{\sqrt{2}}{2} ; \frac{\sqrt{2}}{2}\right] \).