Matematická indukce: Součet mocnin čtyřky
Dokaž matematickou indukcí pro \( \forall n \in \mathbb{N}: 1+4+4^{2}+4^{3}+\ldots+4^{n-1}=\frac{1}{3}\left(4^{n}-1\right) \).
V indukčním kroku přičteš k levé straně indukčního předpokladu další člen součtu členů posloupnosti a dokážeš platnost:
\( 1+4+4^{2}+4^{3}+\ldots+4^{k-1}+4^{k}=\frac{1}{3}\left(4^{k-1}\right)+4^{k}=\frac{1}{2}\left(4^{k+1}-1\right) \)
V indukčním kroku přičteš k levé straně indukčního předpokladu další člen součtu členů posloupnosti a dokážeš platnost:
\( 1+4+4^{2}+4^{3}+\ldots+4^{k-1}+4^{k}=\frac{1}{3}\left(4^{k-1}\right)+4^{k}=\frac{1}{3}\left(4^{k+1}+1\right) \)
V indukčním kroku přičteš k levé straně indukčního předpokladu další člen součtu členů posloupnosti a dokážeš platnost:
\( 1+4+4^{2}+4^{3}+\ldots+4^{k-1}+4^{k}=\frac{1}{3}\left(4^{k-1}\right)+4^{k}=\frac{1}{3}\left(4^{k+2}-1\right) \)
V indukčním kroku přičteš k levé straně indukčního předpokladu další člen součtu členů posloupnosti a dokážeš platnost:
\( 1+4+4^{2}+4^{3}+\ldots+4^{k-1}+4^{k}=\frac{1}{3}\left(4^{k-1}\right)+4^{k}=\frac{1}{3}\left(4^{k+1}-1\right) \)