Dokaž následující tvrzení sporem:
\( \large \forall n \in \mathbb{N} \) platí: je-li
\( n^2 \) liché, pak i n je liché
Připomeneš si, co vlastně znamená dokazování sporem. Chce se po tobě vytvořit negaci původního výroku a dokázat u ní, že neplatí. Když dojdeš k závěru, že neplatí negace, tak poté původní tvrzení platí. V zadání máš implikaci, již musíš dokázat pro všechna přirozená čísla \( \mathbb{N} \).
Máš tu případ, kdy v první části negace je \( n^2 \). Aby se ti lépe dokazovalo, bude lepší udělat nejdřív obměnu a poté její negaci, protože v první části výroku budeš mít n, což ti ulehčí práci. Uvědomíš si, že čísla jsou buď sudá nebo lichá. Pokud nejsou lichá, jsou sudá. V negaci pak bude lepší pro následné úpravy mít „sudé“, než „není liché“.
Jedná se o implikaci ¬b ⇒ ¬a.
Výrok bude znít: Je-li n sudé, pak je \( n^2 \) sudé.
Teď ještě uděláš negaci a můžeš se pustit do dokazování sporem. Negací této implikace je konjunkce ¬b ∧ a.
Negace zní: n je sudé a zároveň \( n^2 \) je liché (není sudé).
Víš, že n je sudé. Můžeš si jej vyjádřit jako \( n=2k \).
Tvar \( n=2k \) dosadíš za \( n^2 \). Poté dostaneš \( n^{2} = (2k)^{2} = 4k^{2} \).
Vytkneš číslo 2 a uvidíš, jestli \( n^2 \) je či není dělitelné dvěma.
🍪 Nastav si svůj neviditelný plášť ⚡
Vítej v kouzelném světě cookies! 🧙♂️ Používáme je, abychom ti přinesli ten nejlepší zážitek a pochopili, jak s naší aplikací kouzliš. Neboj, tyto sušenky nejsou z Bertíkových fazolek 1000x jinak - jsou tu, aby vše kouzelně fungovalo a my mohli naši aplikaci neustále vylepšovat. Tvé preference jsou pro nás jako kouzelná hůlka - můžeš je kdykoli poté změnit. Stačí kliknout na odkaz v patičce s názvem “Upravit cookies 🍪” a vykouzlit si nastavení přesně podle svých představ. Pokud chceš vědět více informací o zpracování cookies, najdeš je na této stránce.
Spojujeme tvůrce vzdělávacího obsahu s učiteli, kteří chtějí efektivně připravovat vyučovací hodiny, a se studenty ve školách.