Důkaz sporem o lichých číslech
Dokaž následující tvrzení sporem:
\( \large \forall n \in \mathbb{N} \) platí: je-li
\( n^2 \) liché, pak i n je liché
\( ∀ n ∈ \mathbb{N} \) platí: \( n^2 \) je sudé a zároveň n je sudé (tj. negace implikace) \( → (2n)^{2} = 4n^{2} \) je liché číslo (tj. spor)
\( ∀ n ∈ \mathbb{Z} \) platí: \( n^2 \) je liché a zároveň n je sudé (tj. negace implikace) \( → (2n)^{2} = 4n^{2} \) je liché číslo (tj. spor)
\( ∀ n ∈ \mathbb{N} \) platí: \( n^2 \) je liché a zároveň n je sudé (tj. negace implikace) \( → (2n)^{2} = 4n^{2} \) je sudé číslo (tj. spor)
\( ∀ n ∈ \mathbb{N} \) platí: \( n^2 \) je sudé a zároveň n je liché (tj. negace implikace) \( → (2n+1)^{2} = 4n^{2} + 4n + 1 \) je liché číslo (tj. spor)
Připomeneš si, co vlastně znamená dokazování sporem. Chce se po tobě vytvořit negaci původního výroku a dokázat u ní, že neplatí. Když dojdeš k závěru, že neplatí negace, tak poté původní tvrzení platí. V zadání máš implikaci, již musíš dokázat pro všechna přirozená čísla \( \mathbb{N} \).
Máš tu případ, kdy v první části negace je \( n^2 \). Aby se ti lépe dokazovalo, bude lepší udělat nejdřív obměnu a poté její negaci, protože v první části výroku budeš mít n, což ti ulehčí práci. Uvědomíš si, že čísla jsou buď sudá nebo lichá. Pokud nejsou lichá, jsou sudá. V negaci pak bude lepší pro následné úpravy mít „sudé“, než „není liché“.
Jedná se o implikaci ¬b ⇒ ¬a.
Výrok bude znít: Je-li n sudé, pak je \( n^2 \) sudé.
Teď ještě uděláš negaci a můžeš se pustit do dokazování sporem. Negací této implikace je konjunkce ¬b ∧ a.
Negace zní: n je sudé a zároveň \( n^2 \) je liché (není sudé).
Víš, že n je sudé. Můžeš si jej vyjádřit jako \( n=2k \).
Tvar \( n=2k \) dosadíš za \( n^2 \). Poté dostaneš \( n^{2} = (2k)^{2} = 4k^{2} \).
Vytkneš číslo 2 a uvidíš, jestli \( n^2 \) je či není dělitelné dvěma.
🍪 Nastav si svoj plášť neviditeľnosti ⚡
Vitajte v čarovnom svete cookies! 🧙♂️ Používame ich, aby sme vám poskytli čo najlepší zážitok a pochopili, ako s našou aplikáciou kúzlite. Nebojte sa, tieto súbory cookie nie sú z Bertieho fazule 1000 krát inak - sú tu preto, aby všetko fungovalo čarovne a my sme mohli našu aplikáciu neustále zlepšovať. Vaše preferencie sú pre nás ako čarovný prútik - môžete ich kedykoľvek neskôr zmeniť. Stačí kliknúť na odkaz v pätičke s názvom "Upraviť súbory cookie 🍪" a vyčarovať nastavenia presne podľa svojich predstáv. Ak chcete vedieť viac o tom, ako spracovávame súbory cookie, nájdete to na tejto stránke.