Důkaz dělitelnosti
Dokaž následující tvrzení přímým důkazem:
\( ∀ n ∈ \mathbb{N} \) je \( \large n^{4}-n^{2} \) dělitelné 12
\( \large n^{4}-n^{2}\left |12 \rightarrow n^{4}-n^{2}\right |3 \land n^{4}-n^{2}\left | 4 \)
\( \large n^{4}-n^{2}\left |12 \rightarrow n^{4}-n^{2}\right |8 \land n^{4}-n^{2}\left | 9 \)
\( \large n^{4}-n^{2}\left |12 \rightarrow n^{4}-n^{2}\right |5 \land n^{4}-n^{2}\left | 7 \)
\( \large n^{4}-n^{2}\left |12 \rightarrow n^{4}-n^{2}\right |2 \land n^{4}-n^{2}\left | 6 \)
Při dokazování přímo budeš postupovat tak, že z výroku \( A \) vyvodíš \( A_1 \), z výroku \( A1 \) vyvodíš \( A_2 \), z výroku \( A2 \) vyvodíš \( A_3 \),… Takto budeš postupovat, dokud nevyvodíš výrok B, a v tu chvíli bude důkaz proveden. Tvým úkolem je dokázat pro všechna přirozená čísla, že rozdíl jejich čtvrtých a druhých mocnin je dělitelný 12. Jde o poměrně vysoké číslo na to, aby byl jednoduchou úpravou sestaven výraz, ze kterého by se číslo 12 vytknulo, čímž by se dokázala dělitelnost. Číslo 12 je součin čísel 3 · 4, takže když dokážeš, že rozdíl mocnin je dělitelný 3 a 4, budeš mít dělitelnost dokázánou i pro číslo 12.
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