Priamy dôkaz nepárnosti kocky čísla
Dokáž nasledujúce tvrdenie priamym dôkazom:
\( \forall n \in \mathbb{N}: n \) je nepárne \( \Rightarrow n^{3} \) je nepárne
Pre \( n=2 k+1:(2 k+1)^{3}=8 k^{3}+12 k^{2}+6 k+1=2\left(4 k^{3}+6 k^{2}+3 k\right)+1 \)
\( \rightarrow \) možno zapísať \( v \) tvare nepárneho čísla \( 2 x+1 \), teda tvrdenie platí.
Pre \( n=2 k:(2 k)^{3}=8 k^{3}+12 k^{2}+6 k \)
\( \rightarrow \) možno zapísať \( v \) tvare párneho čísla \( 2 x \), teda tvrdenie neplatí.
Pre \( n=2 k+2:(2 k+2)^{3}=8 k^{3}+24 k^{2}+24 k+8=2\left(4 k^{3}+12 k^{2}+12 k+4\right) \)
\( \rightarrow \) možno zapísať \( v \) tvare párneho čísla \( 2 x \), teda tvrdenie neplatí.
Pre \( n=2 k+1:(2 k+1)^{3}=8 k^{3}+12 k^{2}+6 k+2=2\left(4 k^{3}+6 k^{2}+3 k+1\right) \)
\( \rightarrow \) možno zapísať \( v \) tvare párneho čísla \( 2 x \), teda tvrdenie neplatí.