Intervalle

Beschränkte Intervalle werden nach dem gegliedert, wo sie abgeschlossen sind.

1. abgeschlossene Intervalle - ein Intervall, welches auf jeder Seite mit bestimmten Werten abgeschlossen ist, welche in diesen Intervall gehören. D.h., dass wir auf beiden Seiten des Intervalls spitze Klammern verwenden, z.B.: \langle 1 ; 5\rangle.

   

   Intervall \langle 1 ; 5\rangle notierst du mit Hilfe der charakteristischen Funktion, also 1 \leq x \leq 5 (lese: „Zahl x ist größer oder gleich 1 und ist gleichzeitig kleiner oder gleich 5”). Bei den anderen Intervall typen pass auf das verändernde Vergleichszeichen auf. Bei den anderen Arten von Intervallen konzentriere dich auf das verändernde Symbol des Vergleichszeichens (d.h. „<“ und „≤”) beim aufschreiben der charakteristischen Funktion.

   Diesen Intervalltyp kannst du auf eine Zahlengerade darstellen. Beide Grenzpunkte markierst du mit einem ausgefülltem Kreis, weil sie in den Intervall gehören, was die spitze klammer aufzeigt \rightarrow\langle 1 ; 5\rangle. Falls die Punkte nicht zum Intervall gehören sollten, würde man runde Klammern verwenden und auf der Zahlengerade sie mit leeren Kreisen darstellen, aber dazu sage ich später mehr.

   

2. halboffenes (genauer links offenes) Intervall

   Ein rechts geschlossenes Intervall (auch links offenes Intervall, hängt von der Sichtweise ab) ist ein Intervall, welches von der rechten Seite geschlossen ist (spitze Klammer zeigt, dass der Grenzpunkt zum Intervall gehört) und auf der linken Seite ist es offen (runde Klammer zeigt, dass der Grenzpunkt nicht zum Intervall gehört), z.B.: (-1 ; 2).

   Den Intervall (-1;2\rangle schreibst du mit Hilfe der charakteristischen Funktion so auf: -1<x\le2 (lese: „die Zahl x ist kleiner als minus eins und gleichzeitig kleiner oder gleich zwei“). Wie du sehen kannst, falls bei dem Grenzpunkt eine runde Klammer verwendet wird, verwendest du das Symbol „<”. Falls in der Aufgabe eine spitze Klammer verwendet wird, schreibst du das Symbol „≤” auf.

   Auf einer Zahlengeraden wird dieses Intervall so dargestellt, dass du über den Wert des Grenzpunktes, bei dem die spitze Klammer ist, einen gefüllten Kreis aufzeichnest. Bei dem Grenzpunkt mit der runden Klammer, wird ein leerer Kreis aufgezeichnet. Mehr sagt dir die Zahlengerade unten.

   

   Eine spitze Klammer in einem gegebenem Intervall und ein gefüllter Kreis auf einer Zahlengeraden zeigen, dass der gegebene Punkt zu dem Intervall gehört. Jedoch eine runde Klammer in einem gegebenem Intervall und ein leerer Kreis auf einer Zahlengeraden zeigen, dass der Punkt nicht zum Intervall gehört. Mehr dazu siehst du auf der Zahlengeraden weiter oben.
   

3. halboffenes (rechts offenes) Intervall

   Ein rechts offenes Intervall (auch links geschlossenes Intervall) ist ein Intervall, welches auf der linken Seite geschlossen ist (spitze Klammer) und auf der rechten Seite offen ist (runde Klammer), z.B.: Intervall \langle0;3).

   Das Intervall \langle0;3) schreibst du mit der charakteristischen Funktion so auf: 0 \leq x<3 (lese: „die Zahl x ist größer oder gleich null und gleichzeitig kleiner als drei”). Dort, wo die runde Klammer ist, nimmst du „<“ und bei der spitzen Klammer schreibst du „\leq”.

   Dieser Typ des Intervalles kannst du selbstverständlich auch auf einer Zahlengeraden darstellen. Der Grenzpunkt der den Intervall von links beschränkt, gehört zu diesem (deswegen wird auf der Zahlengeraden ein ausgefüllter Kreis aufgezeichnet), aber der Grenzpunkt, welcher das Intervall von rechts beschränkt, gehört nicht zu diesem (deswegen wird er auf der Zahlengeraden mit einem leeren Kreis dargestellt).

   

4. offenes Intervall

   Ein offenes Intervall ist ein Intervall, welches auf beiden Seiten offen ist (es hat bloß runde Klammern), z.B.: (-2; 2). Intervall (-2 ; 2) schreibst du mit Hilfe der charakteristischen Funktion -2<x<2 auf (lese: „Zahl x ist größer als minus 2 und gleichzeitig kleiner als zwei”)

   Auf die Zahlengerade stellst du diesen Typ von Intervallen so dar, dass auf beiden Grenzpunkten ein leerer Kreis verwendet wird. Dies wird verwendet, weil es nicht zum Intervall gehört, deswegen werden auch runde Klammern verwendet.