Věty o operacích s celými čísly
Stejně jako u přirozených čísel i zde existují věty o uzavřenosti, komutativnosti, asociativnosti, neutrálnosti a distributivnosti. Vysvětlení, co která věta znamená, se dozvíš v následujícím textu. Tyto věty jsou důležité proto, že ti řeknou, které operace smíš s celými čísly dělat.
Věta o uzavřenosti
Věta o uzavřenosti operací sčítání, násobení a nově i odčítání říká, že pokud sečteš (popř. odečteš) nebo vynásobíš mezi sebou celá čísla, tak výsledkem bude opět celé číslo, např. 5+2=7 ; 3-4=-1 ; 2 \cdot(-2)=-4. U dělení tato věta neplatí.
První část této věty můžeš zapsat pomocí matematických symbolů takto: je-li a, b \in \mathbb{Z}, pak platí a+b \in \mathbb{Z} (čti: „jestliže je a a b celé číslo, pak i jejich součet je celé číslo").
Druhá část pak zní takto: je-li a, b \in \mathbb{Z}, pak platí a-b \in \mathbb{Z} (čti: „jestliže je a a b celé číslo, pak i jejich rozdíl je celé číslo“) a je-li a, b \in \mathbb{Z}, pak platí a \cdot b \in \mathbb{Z} (čti: „jestliže je a a b celé číslo, pak i jejich součin je celé číslo“).
Jde o to si uvědomit, že pokud sečteš, odečteš (to u přirozených čísel neplatilo) nebo vynásobíš mezi sebou dvě celá čísla, pak znovu dostaneš celé číslo (výsledek bude ze stejné množiny, ze stejného číselného oboru).
Věta o komutativnosti
Věta o komutativnosti udává, že při sčítání a násobení můžeš zaměnit pořadí čísel (sčítanců a činitelů), je tedy jedno, zda napíšeš 4+5, nebo 5+4, výsledek bude vždy stejný, tedy celé číslo 9 . To samé u násobení, např. (-4) \cdot 5=5 \cdot(-4). Kdežto u odčítání či dělení již nemůžeš zaměnit pořadí, protože tyto matematické operace nejsou tzv. komutativní, např. 7 - 5 (je dva) není stejné jako 5 - 7 (rovná se minus dva).
První část této věty by v matematických klikyhácích vypadala takto: je-li a, b \in \mathbb{Z}, pak platí a+b=b+a (v lidské řeči: „jestliže je a a b celé číslo, pak platí, že součet čísel a a b je roven součtu čísel b a \left.a^{\prime \prime}\right).
Druhou část věty o komutativnosti Ize matematicky zapsat jako: je-li a, b \in \mathbb{Z}, pak platí a \cdot b=b \cdot a (čti: „jestliže je a a b celé číslo, pak platí, že součin čísel a a b je roven součinu čísel b a a^{\prime \prime} ).
Musíš si uvědomit, že při sčítání a násobení celých čísel můžeš libovolně měnit pořadí sčítanců a činitelů, u odčítání a dělení to opravdu nepůjde.
Věta o asociativnosti
Věta o asociativnosti říká, že můžeš při sčítání a násobení libovolně změnit rozmístění závorek, např. 5+(2+3) je stejné jako (5+2)+3, anebo (-3) \cdot(4 \cdot 5) je totéž jako (-3 \cdot 4) \cdot 5. U odčítání a dělení tato věta neplatí, např. 3-(2-1)=2 není stejné jako (3-2)-1=0.
Tuto větu můžeš též zapsat pomocí matematické symboliky: jeli a, b, c \in \mathbb{Z}, pak platí (a+b)+c=a+(b+c) a a \cdot(b \cdot c)=(a \cdot b) \cdot c.
Musím tě upozornit na jednu věc, která by tě mohla svést na cestě stát se dobrým matematikem či matematičkou, a to je častá chyba mých spolužáků, kteří si myslejí, že platí (a \cdot b)+c=a \cdot(b+c). Určitě je to špatně, takže pozor na to.
Věta o distributivnosti
Věta o distributivnosti říká, že můžeš roznásobit závorky, např. 3 \cdot(4+6)=3 \cdot 4+3 \cdot 6.
Věta o neutrálnosti
Věta o neutrálnosti pro operaci násobení říká, že existuje jeden prvek (číslo), který při násobení nezmění hodnotu čísla, a tím prvkem je číslo 1, např. 4 \cdot 1=4 ; 213 \cdot 1 = 213. At vynásobíš jakékoliv číslo hodnotou 1, tak vždy dostaneš to samé číslo.
Dále tato věta pro operaci sčítání říká, že existuje jeden prvek, který při sčítání nezmění hodnotu. Tím prvkem je číslo 0 , např. 2+0=2 ;-21+0=-21. At přičteš k jakémukoliv číslu hodnotou 0 , tak vždy dostaneš to samé číslo.
Jak počítat s opačnými čísly?
Existuje několik pravidel pro počítání s opačnými čísly. Mimochodem, opačné číslo je číslo, které má opačnou polaritu (opačné znaménko). Například k číslu 5 je opačným číslem hodnota -5 . Následující pravidla tedy jsou:
a) 0-a=-a
Pokud budeš od nuly odečítat jakékoliv číslo, pak vždy dostaneš číslo opačné. Například 0-5=-5, bylo odečteno číslo plus pět, výsledek je ale minus pět, máš tedy opačné číslo, než které bylo pưvodně odečteno.
b) -(-a)=a
Pokud se nachází před závorkou znaménko minus, pak se všechna znaménka v závorce mění v opačná (z plus na minus a naopak), např. -(-3)=3. Tabulka níže vysvětluje, kdy se při násobení (platí i pro dělení) změní znaménka na jiná. Tato pravidla určitě znáš ze základní školy, kde se vždy říkalo „minus a minus je plus".
c) (-1) \cdot a=-a
Pokud vynásobíš libovolné číslo hodnotou minus jedna, pak se jeho polarita změní v opačnou (z plus na minus a naopak). To znamená, že pokud vynásobíš minus jedničkou kladné číslo, pak bude výsledkem číslo záporné, např. (-1) \cdot 5=-5. Jestliže vynásobíš minus jedničkou hodnotu zápornou, pak bude výsledkem číslo kladné, napr̆. (-1) \cdot(-5)=5.