Důkaz o sudosti čísel
Dokaž následující tvrzení nepřímým důkazem:
\( \large \forall n \in \mathbb{N} \) platí: je-li
\( n^2 \) sudé, pak je n sudé
Výsledek tedy je:
\( ∀ n ∈ \mathbb{N} \) platí: \( 2n\ – 1 → (2n\ – 1)^{2} \) (tj. obměněná implikace) \( → (2n\ – 1)^{2} = 4n^{2}\ –\ 4n + 1 \)(liché číslo).
Výsledek tedy je:
\( ∀ n ∈ \mathbb{N} \) platí: \( 2n\ – 1 → (2n\ – 1)^{2} \) (tj. obměněná implikace) \( → (2n\ – 1)^{2} = 4n^{2}\ –\ 4n \)(sudé číslo).
Výsledek tedy je:
\( ∀ n ∈ \mathbb{N} \) platí: \( 2n\ – 1 → (2n\ – 1)^{2} \) (tj. obměněná implikace) \( → (2n\ – 1)^{2} = 4n^{2}\ –\ 4n + 3 \)(liché číslo).
Výsledek tedy je:
\( ∀ n ∈ \mathbb{N} \) platí: \( 2n\ – 1 → (2n\ – 1)^{2} \) (tj. obměněná implikace) \( → (2n\ – 1)^{2} = 4n^{2}\ –\ 4n + 2 \)(sudé číslo).
Zde se po tobě bude chtít vytvořit obměněnou implikaci původního výroku a tu poté dokázat. Po vytvoření obměněné implikace už budeš postupovat stejně jako u přímého důkazu. Máš za úkol dokázat, že pro všechna n, která jsou přirozenými čísly, platí, že je-li \( n^2 \) sudé, pak je n sudé, tedy dělitelné dvěma.
Tuto platnost máš dokázat nepřímo. Musíš vytvořit obměněnou implikaci. U původního výroku a ⇒ b prohodíš pozice jednoduchých výroků a, b a poté je ještě zneguješ. Z implikace a ⇒ b vytvoříš implikaci ¬b ⇒ ¬a.
Vytvoříš obměněnou implikaci. Implikace bude znít: Jestliže n není sudé, pak n2 není sudé. Platí to pro všechna přirozená čísla (1, 2, 3, …).
Když čísla nejsou sudá, automaticky jsou lichá.
Implikace zní: Jestliže je n liché pak je liché i \( n^2 \), kde \( n ∈ \mathbb{N} \).
Obecný zápis pro lichá čísla: \( n = 2k – 1 \)
Platí: \( n = 2k\ – 1 → n^{2} = (2k\ – 1)^{2} \)
🍪 Set your invisibility cloak ⚡
Welcome to the magical world of cookies! 🧙♂️ We use them to give you the best experience and to understand how you make magic with our app. Don't worry, these cookies aren't from Bertie's Beans 1000 Times Different - they're here to make everything work magically so we can keep improving our app. Your preferences are like a magic wand to us - you can change them anytime afterwards. Just click on the link in the footer called "Edit Cookies 🍪" and conjure up the settings exactly to your liking. If you want to know more about how we process cookies, you can find it on this page.