Dokaž následující tvrzení přímým důkazem:\( \forall n \in \mathbb{N}: n \) je liché \( \Rightarrow n^{3} \) je liché
Pro \( n=2 k:(2 k)^{3}=8 k^{3}+12 k^{2}+6 k \) \( \rightarrow \) Lze zapsat ve tvaru sudého čísla \( 2 x \), tudíž tvrzení neplatí.
Unchecked
Pro \( n=2 k+1:(2 k+1)^{3}=8 k^{3}+12 k^{2}+6 k+1=2\left(4 k^{3}+6 k^{2}+3 k\right)+1 \) \( \rightarrow \) Lze zapsat ve tvaru lichého čísla \( 2 x+1 \), tudíž tvrzení platí.
Unchecked
Pro \( n=2 k+3:(2 k+3)^{3}=8 k^{3}+36 k^{2}+54 k+27 \) \( \rightarrow \) Lze zapsat ve tvaru lichého čísla \( 2 x+3 \), tudíž tvrzení neplatí.
Unchecked
Pro \( n=2 k+2:(2 k+2)^{3}=8 k^{3}+24 k^{2}+24 k+8 \) \( \rightarrow \) Lze zapsat ve tvaru sudého čísla \( 2 x \), tudíž tvrzení neplatí.