Důkaz sporem o lichých číslech
Dokaž následující tvrzení sporem:
\( \large \forall n \in \mathbb{N} \) platí: je-li
\( n^2 \) liché, pak i n je liché
\( ∀ n ∈ \mathbb{N} \) platí: \( n^2 \) je sudé a zároveň n je sudé (tj. negace implikace) \( → (2n)^{2} = 4n^{2} \) je liché číslo (tj. spor)
\( ∀ n ∈ \mathbb{N} \) platí: \( n^2 \) je liché a zároveň n je sudé (tj. negace implikace) \( → (2n)^{2} = 4n^{2} \) je sudé číslo (tj. spor)
\( ∀ n ∈ \mathbb{Z} \) platí: \( n^2 \) je liché a zároveň n je sudé (tj. negace implikace) \( → (2n)^{2} = 4n^{2} \) je liché číslo (tj. spor)
\( ∀ n ∈ \mathbb{N} \) platí: \( n^2 \) je sudé a zároveň n je liché (tj. negace implikace) \( → (2n+1)^{2} = 4n^{2} + 4n + 1 \) je liché číslo (tj. spor)
Připomeneš si, co vlastně znamená dokazování sporem. Chce se po tobě vytvořit negaci původního výroku a dokázat u ní, že neplatí. Když dojdeš k závěru, že neplatí negace, tak poté původní tvrzení platí. V zadání máš implikaci, již musíš dokázat pro všechna přirozená čísla \( \mathbb{N} \).
Máš tu případ, kdy v první části negace je \( n^2 \). Aby se ti lépe dokazovalo, bude lepší udělat nejdřív obměnu a poté její negaci, protože v první části výroku budeš mít n, což ti ulehčí práci. Uvědomíš si, že čísla jsou buď sudá nebo lichá. Pokud nejsou lichá, jsou sudá. V negaci pak bude lepší pro následné úpravy mít „sudé“, než „není liché“.
Jedná se o implikaci ¬b ⇒ ¬a.
Výrok bude znít: Je-li n sudé, pak je \( n^2 \) sudé.
Teď ještě uděláš negaci a můžeš se pustit do dokazování sporem. Negací této implikace je konjunkce ¬b ∧ a.
Negace zní: n je sudé a zároveň \( n^2 \) je liché (není sudé).
Víš, že n je sudé. Můžeš si jej vyjádřit jako \( n=2k \).
Tvar \( n=2k \) dosadíš za \( n^2 \). Poté dostaneš \( n^{2} = (2k)^{2} = 4k^{2} \).
Vytkneš číslo 2 a uvidíš, jestli \( n^2 \) je či není dělitelné dvěma.
🍪 Setzen Sie Ihre Unsichtbarkeitstarnung ⚡
Willkommen in der magischen Welt der Cookies! 🧙♂️ Wir verwenden sie, um dir das beste Erlebnis zu bieten und um zu verstehen, wie du mit unserer App zauberst. Keine Sorge, diese Cookies sind nicht von Bertie's Beans 1000 Times Different - sie sind dafür da, dass alles magisch funktioniert, damit wir unsere App weiter verbessern können. Deine Einstellungen sind für uns wie ein Zauberstab - du kannst sie jederzeit nachträglich ändern. Klicke einfach auf den Link "Cookies bearbeiten 🍪" in der Fußzeile und zaubere die Einstellungen genau nach deinem Geschmack. Wenn Sie mehr darüber wissen wollen, wie wir Cookies verarbeiten, finden Sie es auf dieser Seite.