Důkaz o sudosti čísel
Dokaž následující tvrzení nepřímým důkazem:
\( \large \forall n \in \mathbb{N} \) platí: je-li
\( n^2 \) sudé, pak je n sudé
Výsledek tedy je:
\( ∀ n ∈ \mathbb{N} \) platí: \( 2n\ – 1 → (2n\ – 1)^{2} \) (tj. obměněná implikace) \( → (2n\ – 1)^{2} = 4n^{2}\ –\ 4n + 3 \)(liché číslo).
Výsledek tedy je:
\( ∀ n ∈ \mathbb{N} \) platí: \( 2n\ – 1 → (2n\ – 1)^{2} \) (tj. obměněná implikace) \( → (2n\ – 1)^{2} = 4n^{2}\ –\ 4n + 2 \)(sudé číslo).
Výsledek tedy je:
\( ∀ n ∈ \mathbb{N} \) platí: \( 2n\ – 1 → (2n\ – 1)^{2} \) (tj. obměněná implikace) \( → (2n\ – 1)^{2} = 4n^{2}\ –\ 4n + 1 \)(liché číslo).
Výsledek tedy je:
\( ∀ n ∈ \mathbb{N} \) platí: \( 2n\ – 1 → (2n\ – 1)^{2} \) (tj. obměněná implikace) \( → (2n\ – 1)^{2} = 4n^{2}\ –\ 4n \)(sudé číslo).
Zde se po tobě bude chtít vytvořit obměněnou implikaci původního výroku a tu poté dokázat. Po vytvoření obměněné implikace už budeš postupovat stejně jako u přímého důkazu. Máš za úkol dokázat, že pro všechna n, která jsou přirozenými čísly, platí, že je-li \( n^2 \) sudé, pak je n sudé, tedy dělitelné dvěma.
Tuto platnost máš dokázat nepřímo. Musíš vytvořit obměněnou implikaci. U původního výroku a ⇒ b prohodíš pozice jednoduchých výroků a, b a poté je ještě zneguješ. Z implikace a ⇒ b vytvoříš implikaci ¬b ⇒ ¬a.
Vytvoříš obměněnou implikaci. Implikace bude znít: Jestliže n není sudé, pak n2 není sudé. Platí to pro všechna přirozená čísla (1, 2, 3, …).
Když čísla nejsou sudá, automaticky jsou lichá.
Implikace zní: Jestliže je n liché pak je liché i \( n^2 \), kde \( n ∈ \mathbb{N} \).
Obecný zápis pro lichá čísla: \( n = 2k – 1 \)
Platí: \( n = 2k\ – 1 → n^{2} = (2k\ – 1)^{2} \)
🍪 Setzen Sie Ihre Unsichtbarkeitstarnung ⚡
Willkommen in der magischen Welt der Cookies! 🧙♂️ Wir verwenden sie, um dir das beste Erlebnis zu bieten und um zu verstehen, wie du mit unserer App zauberst. Keine Sorge, diese Cookies sind nicht von Bertie's Beans 1000 Times Different - sie sind dafür da, dass alles magisch funktioniert, damit wir unsere App weiter verbessern können. Deine Einstellungen sind für uns wie ein Zauberstab - du kannst sie jederzeit nachträglich ändern. Klicke einfach auf den Link "Cookies bearbeiten 🍪" in der Fußzeile und zaubere die Einstellungen genau nach deinem Geschmack. Wenn Sie mehr darüber wissen wollen, wie wir Cookies verarbeiten, finden Sie es auf dieser Seite.