Rovnako ako pri prirodzených číslach, aj tu existujú vety o uzavretosti, komutatívnosti, asociatívnosti a distributívnosti. Vysvetlenie, čo ktorá veta znamená, sa dozvieš v nasledujúcom texte. Tieto vety sú dôležité preto, lebo ti povedia, ktoré operácie smieš s celými číslami robiť.

Veta o uzavretosti

Veta o uzavretosti operácie sčítania, násobenia a najnovšie aj odčítania hovorí, že ak sčítaš (prípadne odpočítaš) alebo vynásobíš medzi sebou celé čísla, tak výsledkom bude opäť celé číslo, napr. \( 5+2=7 ; 3-4=-1 ; 2 \cdot(-2)=-4 \). Pri delení táto veta neplatí.

Prvú časť tejto vety môžeme zapísať pomocou matematických symbolov takto: ak \( a, b \in \mathbb{Z} \), potom platí \( a+b \in \mathbb{Z} \) (čítaj: „ak \( a \) a \( b \) sú celé čísla, potom aj ich súčet je celé číslo“).

Druhá časť potom znie takto: ak \( a, b \in \mathbb{Z} \), potom platí \( a-b \in \mathbb{Z} \) (čítaj: „ak \( a \) a \( b \) sú celé čísla, potom aj ich rozdiel je celé číslo“') a ak \( a, b \in \mathbb{Z} \), potom platí \( a-b \in \mathbb{Z} \) (čítaj: „ak \( a \) a \( b \) sú celé čísla, potom aj ich súčin je celé číslo“).

Ide o to si uvedomiť, že keď sčítaš, odpočítaš (to pri prirodzených číslach neplatilo) alebo vynásobíš medzi sebou dve celé čísla, tak znova dostaneš celé číslo (výsledok bude z rovnakej množiny, z rovnakého číselného oboru).

Veta o komutatívnosti

Veta o komutatívnosti hovorí, že pri sčítaní a násobení môžeš zameniť poradie čísel (sčítanca a činiteľa), je teda jedno, či napíšeš \( 4+5 \) alebo \( 5+4 \), výsledok bude vždy rovnaký, teda číslo 9 . To isté platí pri násobení, napr. \( (-4) \cdot 5=5 \cdot(-4) \). Kým pri odčítaní alebo delení poradie zameniť nemôžeš, pretože tieto matematické operácie nie sú tzv. komutatívne, napr. 7 - 5 (je dva) nie je to isté ako \( 5-7 \) (rovná sa mínus dva).

Prvá časť tejto vety by v matematických hieroglyfoch vyzerala takto: \( a k a, b \in \mathbb{Z} \), potom platí \( a+b=b+a \) (v ľudskej reči: „ak \( a \) a \( b \) sú celé čísla, potom platí, že súčet čísel \( a \) a \( b \) sa rovná súčtu čísel \( b \) a \( a^{\prime \prime} \) ).

Druhá časť vety o komutatívnosti sa dá matematicky zapísať ako: ak \( a, b \in \mathbb{Z} \), potom platí \( \cdot b=b \cdot a \) (čítaj: „ak a a a \( b \) sú celé čísla, potom platí, že súčet čísel \( a \) a \( b \) sa rovná súčtu čísel \( b \) a \( a^{\prime \prime} \) ).

Musíš si uvedomiť, že pri sčítaní a násobení celých čísel môžeš ľubovoľne meniť poradie sčítancov a činiteľov, pri odčítaní a delení sa to naozaj nedá.

Veta o asociatívnosti

Veta o asociatívnosti hovorí, že pri sčítaní a násobení môžeš ľubovoľne zmeniť rozmiestnenie zátvoriek, napr. \( 5+(2+3) \) je to isté ako \( (5+2)+3 \), alebo \( (-3) \cdot(4 \cdot 5) \) je to isté ako \( (-3 \cdot 4) \cdot 5 \). Pri odčítaní a delení táto veta neplatí, napr. \( 3-(2-1)=2 \) nie je to isté ako \( (3-2)-1=0 \).

Túto vetu môžeš tiež zapísať pomocou matematických symbolov: ak \( a, b, c \in \mathbb{Z} \), potom platí \( (a+b)+c=a+(b+c)\:a\:a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c \).

Dávaj si veľký pozor na jednu vec, ktorá by ta mohla zmiasť na ceste stať sa dobrým matematikom alebo matematičkou, a tou je častá chyba viacerých spolužiakov, ktorí si myslia, že platí \( (a \cdot b)+c=a \cdot(b+c) \). To je určite zle, takže pozor na to.

Veta o distributívnosti

Veta o distributívnosti hovorí, že môžeš roznásobiť zátvorky, napr. \( 3 \cdot(4+6)=3 \cdot 4+3 \cdot 6 \).

Veta o neutrálnosti

Veta o neutrálnosti pri operácii násobenia hovorí, že existuje jeden prvok (číslo), ktorý pri násobení nezmení hodnotu čísla, a tým prvkom je číslo 1 , napr. \( 4 \cdot 1=4 ; 213 \cdot 1=213 \). Hoci vynásobíš akékoľvek číslo hodnotou 1, tak vždy dostaneš to isté číslo.

Ďalej táto veta pri operácii sčítania hovorí, že existuje jeden prvok, ktorý pri sčítaní nezmení hodnotu. Tým prvkom je číslo 0 , napr. \( 2+0=2 ;-21+0=-21 \). Keď pripočítaš \( k \) akémukoľvek číslu hodnotu 0 , tak vždy dostaneš to isté číslo.

Ako počítať s opačnými číslami?

Existuje niekoľko pravidiel pre počítanie s opačnými číslami. Mimochodom, opačné číslo je číslo, ktoré má opačnú polaritu (opačné znamienko). Napríklad k číslu 5 je opačným číslom hodnota -5 . Nasledujúce pravidlá teda sú:

\( 0-a=-a \)Ak budeš od nuly odpočítavať akokoľvek číslo, tak vždy dostaneš opačné číslo. Napríklad v príklade \( 0-5=-5 \) bolo odrátané číslo plus päť, výsledok je ale mínus päť, máš teda opačné číslo, než to, ktoré bolo pôvodne odrátané.
\( -(-a)=a \)Ak sa pred zátvorkou nachádza znamienko mínus, tak sa všetky znamienka v zátvorke menia na opačné (z plus na mínus a naopak), napr. \( -(-3)=3 \). Tabuľka nižšie vysvetľuje, kedy sa pri násobení (platí aj pri delení) zmení znamienko na iné. Toto pravidlo určite poznáš zo základnej školy, kde sa vždy hovorilo "mínus a mínus je plus“.
(-1) \( a=-a \)Ak vynásobíš ľubovoľné číslo hodnotou mínus jeden, tak sa jeho polarita zmení na opačnú (z plus na mínus a naopak). To znamená, že ak vynásobíš mínus jednotku kladným číslom, tak výsledok bude číslo záporné, napr. \( (-1) \cdot 5=-5 \). Ak vynásobíš mínus jednotkou hodnotu zápornú, tak potom bude výsledok kladné číslo, napr. (-1) . \( (-5)=5 \).