Vety o operáciách s prirodzenými číslami
Aby sa vedelo, čo všetko sa môže robiť s prirodzenými číslami, zaviedli sa vety o operáciách, s ktorými sa oboznámiš v nasledujúcich riadkoch. Budeš tak vedieť, ktoré úpravy s prirodzenými číslami si môžeš dovoliť a ktoré sú v matematike zakázané.
Veta o uzavretosti
Veta o uzavretosti operácií sčítania a násobenia hovorí, že ak sčítaš alebo vynásobíš medzi sebou prirodzené čísla, výsledkom bude opäť prirodzené číslo, napr. \( 5+2=7 \) alebo \( 3 \cdot 4=12 \). Pri odčítaní a delení táto veta neplatí, napr. \( 6-7=-1 \), číslo -1 nie je prirodzené číslo.
Túto vetu môžeš v matematickom jazyku napísať aj takto: ak je \( a, b \in \mathbb{N} \), potom \( a+b \in \mathbb{N} \) (čo sa dá prečítať ako: ,,ak je \( a \) a \( b \) prirodzené číslo, tak aj ich súčet je prirodzené číslo“) a ak je \( a, b \in \mathbb{N} \), potom \( a \cdot b \in \mathbb{N} \) (číta sa to: ,,ak je \( a \) a \( b \) prirodzené číslo, potom aj ich súčin bude prirodzené číslo“)
Je dôležité uvedomiť si, že ak spočítaš alebo vynásobíš medzi sebou dve prirodzené čísla, tak znova dostaneš prirodzené číslo (výsledok bude z rovnakej množiny - z \( \mathbb{N} \)).
Veta o komutatívnosti
Veta o komutatívnosti hovorí, že pri sčítaní a násobení môžeš zmeniť poradie čísel (sčítancov a činiteľov), je teda jedno, či najprv napíšeš \( 4+5 \) alebo \( 5+4 \), výsledok bude vždy rovnaký, teda prirodzené číslo 9 . To isté je pri násobení, napr. \( 4 \cdot 5 \) je to isté ako \( 5 \cdot 4 \). Kým pri odčítaní alebo delení už nemôžeš meniť poradie, pretože tieto matematické operácie nie sú tzv. komutatívne, napr. 7 - 5 (sú dva), nie je to isté ako 5 - 7 (výsledok je mínus dva).
Prvá časť tejto vety by v matematickom jazyku vyzerala takto: ak je \( a, b \in \mathbb{N} \), potom platí \( a+b=b+a \) (v ľudskej reči: ak je \( a \) a \( b \) prirodzené číslo, potom platí, že ich súčet čísel \( a \) a \( b \) sa rovná súčtu \( b \) a a.").
Druhú časť vety môžeme matematicky zapísať ako: ak je \( a, b \in \mathbb{N} \), potom platí \( a \cdot b=b \cdot a \) (čítaj: ak je \( a \) a \( b \) prirodzené číslo, potom platí, že súčin čísel \( a \) a \( b \) sa rovná súčinu čísel \( b \) a \( a^{\prime \prime} \) ).
Je naozaj potrebné uvedomiť si, že pri sčítaní a násobení prirodzených čísel môžeš ľubovoľne meniť poradie sčítancov a činiteľov, ale pri odčítaní a delení to naozaj robiť nesmieš!
Veta o asociatívnosti
Veta o asociatívnosti hovorí, že pri sčítaní a násobení môžeš ľubovoľne zmeniť rozmiestnenie zátvoriek, napr. \( 5+(2+3) \) je rovnaké ako \( (5+2)+3 \), alebo \( 3 \cdot(4 \cdot 5) \) je to isté ako (\( 3 \cdot 4) \cdot 5 \). Pri odčítaní a delení táto veta neplatí, napr. 3 - (2 - 1), t. j. 2, nie je to isté ako (3 - 2) - 1, rovná sa 0.
Táto veta sa dá, samozrejme, zapísať, aj pomocou matematickej symboliky: ak je \( a, b, c \in \mathbb{N} \), potom platí \( (a+b)+c=a+(b+c) \) a ak je \( a, b, c \in \mathbb{N} \), potom platí \( a \cdot(b \cdot c)=(a \cdot b) \cdot c \).
Dávaj si veľký pozor na jednu vec, ktorá by ťa mohla zmiasť na ceste stať sa dobrým matematikom alebo matematičkou, a tou je častá chyba viacerých spolužiakov, ktorí si myslia, že platí \( (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a} \cdot(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})! \) To je určite zle, takže pozor na to.
Veta o distributívnosti
Veta o distributívnosti hovorí len to, že môžeš roznásobiť zátvorky, napr. \( 3 \cdot(4+6)=3 \cdot 4+3 \cdot 6 \).
Veta o neutrálnosti
Veta o neutrálnosti pre operáciu násobenia hovorí, že existuje jeden prvok (číslo), ktoré pri násobení nezmení hodnotu čísla. Tým prvkom je číslo 1, napr. \( 4 \cdot 1=4 ; 213 \cdot 1=213 \). Ak vynásobíš akokoľvek číslo hodnotou 1, tak vždy dostaneš to isté číslo.