Nepriame dôkazy v matematike
Dokáž nasledujúce tvrdenie nepriamym dôkazom:
\( \normalsize\forall n\in\mathbb{N} \) platí: ak je
n2 párne, potom je n párne
\( \forall n\in\N \) platí \( 2n\rightarrow\left(2n\right)^2 \) (t.j. obmenená implikácia\( ) \)
\( \large \rightarrow \left( 2n\right) ^{2} = 4n^{2} \) (párne číslo).
', '\forall n \in \mathbb{N}$ platí: $2n \rightarrow \left( 2n\right) ^{2}$ \left( t. j. obmenená implikácia\right) $\rightarrow \left( 2n\right) ^{2} = 4n^{2}$ \left( párne číslo\right) .\( \forall n\in\N \) platí \( 2n-1\rightarrow\left(2n-1\right)^2 \) (t.j. obmenená implikácia\( ) \)
\( \large \rightarrow \left( 2n- 1\right) ^{2} = 4n^{2}-4n + 1 \) (nepárne číslo).
\( \forall n\in\N \) platí \( 2n+1\rightarrow\left(2n+1\right)^2 \) (t.j. obmenená implikácia\( ) \)
\( \large \rightarrow \left( 2n+ 1\right) ^{2} = 4n^{2}+4n + 1 \) (nepárne číslo).
', '\forall n \in \mathbb{N}$ platí: $2n+ 1 \rightarrow \left( 2n+ 1\right) ^{2}$ \left( t. j. obmenená implikácia\right) $\rightarrow \left( 2n+ 1\right) ^{2} = 4n^{2}+4n + 1$ \left( nepárne číslo\right) .\( \forall n\in\N \) platí \( n\rightarrow n^2 \) (t.j. obmenená implikácia\( ) \)
\( \large \rightarrow n^{2} = n \times n \) (číslo).
', '\forall n \in \mathbb{N}$ platí: $n \rightarrow n^{2}$ \left( t. j. obmenená implikácia\right) $\rightarrow n^{2} = n \times n$ \left( číslo\right) .Tu sa od teba bude chcieť vytvoriť obmenenú implikáciu pôvodného výroku a tú potom dokázať. Po vytvorení obmenenej implikácie už budeš postupovať rovnako ako u priameho dôkazu. Máš za úlohu dokázať, že pre všetky n, ktoré sú prirodzenými číslami, platí, že ak je n2 párne, potom je n párne, teda deliteľné dvoma.
Túto platnosť máš dokázať nepriamo. Musíš vytvoriť obmenenú implikáciu. U pôvodného výroku A ⇒ B prehodíš pozície jednoduchých výrokov A, B a potom ich ešte zneguješ. Z implikácie A ⇒ B vytvoríš implikáciu ¬B ⇒ ¬A.
Vytvoríš obmenenú implikáciu. Implikácia bude znieť: Ak n nie je párne, potom n2 nie je párne. Platí to pre všetky prirodzené čísla (1, 2, 3, ...).
Keď čísla nie sú párne, automaticky sú nepárne.
Implikácia znie: Ak je n nepárne potom je nepárne aj \( n^2 \), kde \( n\in\N \).
Všeobecný zápis pre nepárne čísla: \( n=2k-1 \)
Platí: \( n=2k-1\rightarrow n^2=\left(2k-1\right)^2 \)
🍪 Nastav si svůj neviditelný plášť ⚡
Vítej v kouzelném světě cookies! 🧙♂️ Používáme je, abychom ti přinesli ten nejlepší zážitek a pochopili, jak s naší aplikací kouzliš. Neboj, tyto sušenky nejsou z Bertíkových fazolek 1000x jinak - jsou tu, aby vše kouzelně fungovalo a my mohli naši aplikaci neustále vylepšovat. Tvé preference jsou pro nás jako kouzelná hůlka - můžeš je kdykoli poté změnit. Stačí kliknout na odkaz v patičce s názvem “Upravit cookies 🍪” a vykouzlit si nastavení přesně podle svých představ. Pokud chceš vědět více informací o zpracování cookies, najdeš je na této stránce.