Dôkaz deliteľnosti
Dokáž nasledujúce tvrdenie priamym dôkazom:
\( ∀ n ∈ \mathbb{N} \) je \( \normalsize n^4+3n^2 \) deliteľné 4
\( \normalsize4\left(n^2-n-1\right)\cdot\left(2n+1\right)^2 \)
\( \normalsize4\left(n^2+n+1\right)\cdot\left(2n+1\right)^2 \)
\( \normalsize4\left(n^2+n-1\right)\cdot\left(2n-1\right)^2 \)
\( \normalsize4\left(n^2-n+1\right)\cdot\left(2n-1\right)^2 \)
Pri dokazovaní priamo budeš postupovať tak, že z výroku A vyvodíš A1, z výroku A1 vyvodíš A2, z výroku A2 vyvodíš A3,… Takto budeš postupovať, kým nevyvodíš výrok B, a v tú chvíľu bude dôkaz vykonaný. Máš za úlohu dokázať, že výraz n4 + 3n2 je deliteľný 4 a že to platí pre všetky prirodzené n. Hodnota n je ľubovoľné prirodzené číslo (1, 2, 3,...). Najjednoduchšie bude, ak to dokážeš najskôr pre nepárne čísla a následne pre párne.
Všeobecný zápis nepárneho čísla: n = 2k – 1. Nepárne čísla n si vyjadríš ako n = 2k – 1, pretože keď vynásobíš akékoľvek prirodzené číslo dvoma a odčítaš od výsledku jedničku, tak ti vyjde nepárne číslo, napr. 2 ⋅ 5 – 1 = 9.
🍪 Nastav si svůj neviditelný plášť ⚡
Vítej v kouzelném světě cookies! 🧙♂️ Používáme je, abychom ti přinesli ten nejlepší zážitek a pochopili, jak s naší aplikací kouzliš. Neboj, tyto sušenky nejsou z Bertíkových fazolek 1000x jinak - jsou tu, aby vše kouzelně fungovalo a my mohli naši aplikaci neustále vylepšovat. Tvé preference jsou pro nás jako kouzelná hůlka - můžeš je kdykoli poté změnit. Stačí kliknout na odkaz v patičce s názvem “Upravit cookies 🍪” a vykouzlit si nastavení přesně podle svých představ. Pokud chceš vědět více informací o zpracování cookies, najdeš je na této stránce.