Na obrázku nižšie vidíš jednotkovú kružnicu (jednotková sa jej hovorí preto, lebo má polomer rovný číslu 1). Tá ti pomôže určiť veľkosť uhla a potom sa budeš jednoduchšie orientovať v v ich prevodoch na radiány. Keď rozdelíš kružnicu na niekoľko rovnakých dielov (ako keď krájaš koláč), tak pre tieto rovnaké časti platí, že uhol, ktorý zvierajú deliace úsečky, sa rovná nejakému zlomku hodnoty \( 2 \pi \). A môžu to byť šestiny, štvrtiny alebo napríklad polovice.

Vďaka tomu, že už vieš, ako spolu súvisia stupňová a oblúková miera, dokážeš určiť akýkoľvek uhol v akomkoľvek type miery.

Jednotkovú kružnicu môžeš použiť aj na zistenie hodnoty sínusu alebo kosínusu bez toho, aby si použil kalkulačku alebo svoju pamäť. Zvislá os \( y \) predstavuje hodnoty sínusu \( x \) a vodorovná \( x \) hodnoty kosínusu \( x \).

Napríklad máš uhol s veľkosťou \( 30^{\circ} \). Najprv ho zvýrazníš na jednotkovej kružnici. Potom vedieš koncovým bodom ramena uhla kolmicu k zvislej osi. Vznikne tak pravouhlý trojuholník, ktorého prepona je práve ono rameno príslušného uhla. Má dĺžku 1, pretože ide o polomer jednotkovej kružnice. Ďalej je v trojuholníku uhol s veľkosťou \( 30^{\circ} \).

A teraz prichádza tá výhoda jednotkovej kružnice. Ako už vieš, funkcia sínus je definovaná ako „protiľahlák prepone“. Ak teda za dĺžku prepony dosadíš číslo 1, dostaneš vzťah:

\( \sin x=\frac{\text { dĺžka protilahlej odvesny }}{1} \text { alebo "sin } x=\text { dÍžka protiľahlej odvesny“ } \)

Modrou máš zvýraznenú časť, ktorá je rovná sínusu \( 30^{\circ} \). Úplne rovnako by sa dal zobraziť ktorýkoľvek iný uhol a na zvislej sínusovej osi by sa získala hodnota jeho sínusu.

Podobne na jednotkovej kružnici funguje kosínus \( x \). Ukážem ti to opäť na uhle \( 30^{\circ} \). Rozdiel oproti sínusu je v tom, že z koncového bodu ramena uhla vedieš kolmicu k vodorovnej osi. Opäť dostávaš pravouhlý trojuholník, ktorého jeden uhol sa rovná \( 30^{\circ} \) a prepona má dĺžku 1.Vzorec pre funkciu kosínus je:

\( \cos x=\frac{\text { dĺžka prilahlej odvesny }}{\text { dížka prepony }} \)

Po dosadení jednotky do menovateľa vznikne:

\( \cos x=\frac{\text { dÍžka prilahlej odvesny }}{1}=\text { dížka prilahlej odvesny } \)

Modro je teda zvýraznená hodnota funkcie kosínus \( 30^{\circ} \).

Funkcia tangens sa nachádza na zvislej osi, ktorá je dotyčnicou jednotkovej kružnice v bode, kde sa vyznačuje nulový uhol.Tentokrát musí rameno vyznačovaného uhla \( 30^{\circ} \) predĺžiť, aby dosiahlo až k tangentovej osi, čím získaš pravouhlý trojuholník. Jednotka sa v tomto prípade rovná dĺžke priľahlej odvesny. Takže podla vzorca získaš:

\( \operatorname{tg} x=\frac{\text { dĺžka protilahlej odvesny }}{\text { dlžka prilahlej odvesny }} \)

Po dosadení jednotky máš:

\( \operatorname{tg} x=\frac{d\{\text { žka protiľahlej odvesny }}{1}=\text { dĺžka protilahlej odvesny } \)

Modrou je vyznačená práve táto dĺžka.Tiež je tu dobre vidieť aj to, že tangens \( x \) nie je definovaný \( v x \) rovnom \( 90^{\circ}, 270^{\circ}, 450^{\circ}, 630^{\circ}, \ldots \) Vo všeobecnosti platí, že \( x \neq 90^{\circ}+k \cdot 180^{\circ}, k \in \mathbb{Z} \), pretože ramená týchto uhlov nikdy nepretnú tangensovú os.

Podobne funguje aj kotangens. Jeho os je rovnobežná s kosínusovou osou a je dotyčnicou jednotkovej kružnice \( v \) bode, kde je vyznačený uhol \( 90^{\circ} \) alebo \( \frac{\pi}{2} \).

Opäť rameno uhla prídeš až „za“ kružnicu, aby sa dotklo kotangensovej osi. Vznikne ti tak pravouhlý trojuholník, \( v \) ktorom cez striedavé uhly určíš uhol \( 30^{\circ} \). Jeho protiľahlá odvesna sa rovná 1, keďže ide o polomer jednotkovej kružnice. Po dosadení do vzorca teda získaš:

\( \operatorname{cotg} x=\frac{\text { dĺžka prilahlej odvesny }}{\text { dIžka protilahlej odvesny }}=\frac{d \text { ĺžka prilahlej odvesny }}{1}=d \text { dIžka prilahlej odvesny. } \)

Tak ako do funkcie tangens \( x \) nemôžeš dosadzovať napr. \( 90^{\circ} \), kotangens nie je definovaný pre \( k \)-násobky \( 180^{\circ} \), teda \( x \neq k \cdot 180^{\circ}, k \in \mathbb{Z} \).

Celé je to o kružniciach...