Ako určiť pomocou zmiešaného súčinu objem hranola?
Zo stereometrie možno vieš, že objem rovnobežnostena (kosého hranola) sa dá vypočítať pomocou vzorca:
\( V=S_{p} \cdot v \rightarrow V=|(\vec{u} \times \vec{v})| \cdot v \)
Teraz musíš určiť výšku \( v \) pomocou vektora \( \vec{t} \).
\( \cos \alpha=\frac{v}{|\vec{t}|} \rightarrow \quad v=\cos \alpha \cdot|\vec{t}| \)
Z goniometrie už poznáš výpočet pre uhol \( a \). Vďaka nemu môžeš vypočítať výšku \( v \), čo je vzdialenosť medzi podstavami. Keď to, čo ti vyšlo, dosadíš za \( v \), vznikne vzorec:
\( \begin{array}{c} V=|\vec{u} \times \vec{v}| \cdot|\vec{t}| \cdot \cos \alpha \\ |\vec{u} \times \vec{v}| \cdot|\vec{t}| \cdot \cos \alpha=(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{t} \end{array} \)
Novovzniknutý vzťah je na výpočet skalárneho súčinu vektorov \( |\vec{u} \times \vec{v}| \) a \( |\vec{t}| \). Objem teda môžeš vypočítať len pomocou vektorov \( \vec{u}, \vec{v} \) a \( \vec{t} \) podľa vzťahu:
\( V=|(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{t}| \)
Tento vzorec presne zodpovedá zmiešanému súčinu vektorov \( \vec{u}, \vec{v} \) a \( \vec{t} \). Ak budeš mat nabudúce zadaný rovnobežnosten pomocou vektorov, vypočítaj ich zmiešaný súčin a máš výsledok.