Aké vlastnosti má vektorový súčin?
Dĺžka strán zvierajúcich uhol a zodpovedá podľa obrázka dĺžke vektorov \( \vec{u} \) a \( \vec{v} \). Vďaka tomu sa vzorec z bodu tri v predchádzajúcom texte dá použiť na výpočet obsahu rovnobežníka. Má to tú výhodu, že stačí zo súradníc zadaných vrcholov útvaru vypočítať orientované úsečky zodpovedajúce vektorom na obrázku.
\( |\vec{w}|=|\vec{u}| \cdot|\vec{v}| \cdot \sin \alpha \)
Vzorec obsahujúci sínus uhla medzi vektormi je však často práve pre tento uhol nepraktický. Pomocou tohto vzorca navyše získaš len veľkosť, nie smer alebo súradnice vektorového súčinu. Preto sa hodí vedieť vypočítať vektorový súčin podľa súradníc. Práve na to slúži nižšie uvedený vzorec, kde symbol „x“ zastupuje operáciu vektorového súčinu.
\( \begin{array}{c} \vec{u}=\left(u_{x} ; u_{y} ; u_{z}\right) a \vec{v}=\left(v_{x} ; v_{y} ; v_{z}\right) \\ \vec{w}=\vec{u} \times \vec{v}=\left(u_{y} v_{z}-u_{z} v_{y} ; u_{z} v_{x}-u_{x} v_{z} ; u_{x} v_{y}-u_{y} v_{x}\right) \end{array} \)
Napríklad výpočtom veľkosť výsledného vektora alebo obrázkom si môžeš overiť, že výsledok má naozaj vlastnosti vektorového súčinu.