Dôkaz matematickou indukciou
Použitím matematickej indukcie dokáž tvrdenie: \( \forall n \in \mathbb{N}: 6 \mid\left(n^{3}+5 n\right) \).
V(1) platí.
\( V(k) \Rightarrow V(k+1) \) neplatí.
\( V(n) \) teda neplatí pre všetky \( n \).
V(2) platí.
\( V(k) \Rightarrow V(k+1) \) neplatí.
\( V(n) \) teda platí len pre niektoré \( n \).
V(1) neplatí.
\( V(k) \Rightarrow V(k+2) \) neplatí.
\( V(n) \) teda neplatí pre všetky \( n \).
V(1) platí.
\( V(k) \Rightarrow V(k+1) \) platí.
\( V(n) \) teda platí pre všetky \( n \).
Značka „|" znamená "delí bez zvyšku", napr. \( 6 \mid 12 \) hovorí, že číslo šesť delí číslo dvanásť bez zvyšku, výsledkom je číslo 2. V tomto prípade teda dokazuješ, že zadaný výraz je deliteľný číslom 6 bez zvyšku. Takže keď dosadíš za n ľubovoľné prirodzené číslo, po vydelení dostaneš zase prirodzené číslo. Najprv dosadíš za premennú \( n \) číslo 1. Overí̌ si, že výsledok je deliteľný šiestimi, po vydelení ti vyjde jednotka. Zavedieš si indukčný predpoklad. To znamená, že napíšeš, že platí: \( 6 \mid\left(k^{2}+5 k\right) \). Potom za \( n \) dosadíš k+ 1 a použitím tohto predpokladu dokážeš, že aj toto číslo je deliteľiné šiestimi. Vzniknutý výraz upravuješ tak dlho, kým v ňom nedostaneš \( k^{3}+5 k \) a číslo, ktoré je deliteľné šiestimi. A hotovo!