Limitne sa blížime ku koncu sa blížime ku koncu
Členy postupnosti čiastočných súčtov \( s_{n} \) sú súčty prvých \( n \) členov postupnosti \( a_{n} \). Postupnosť čiastočných súčtov \( s_{n} \) pre postupnosť \( a_{n} \) sa získa ako: \( s_{1}=a_{1}, s_{2}=a_{1}+a_{2}, s_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}, \ldots, s_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n} \).
Súčtu všetkých členov postupnosti \( a_{n} \) hovoríme nekonečný rad. Označuje sa symbolom \( \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \). Ide o súčet všetkých členov nekonečnej postupnosti \( a_{n}: a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}+\ldots \) Ide o súčet všetkých členov nekonečnej postupnosti \( a_{n}: a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}+\ldots \)
Vzorec pre \( \textcolor{teal}{n} \)-tý člen postupnosti čiastočných súčtov \( \textcolor{teal}{s_{n}} \) geometrického radu závisí od hodnoty kvocientu q. Ak: a) \( q \neq 1 \), tak pre súčet prvých členov geometrickej postupnosti \( s_{n} \) platí \( s_{n}=\frac{q^{n}-1}{q-1} \cdot a_{1} \), b) \( q=1 \), potom pre súčet prvých členov geometrickej postupnosti \( s_{n} \) platí \( s_{n}=a_{1} \cdot n \).
Ak je geometrická postupnosť \( a_{n} \) divergentná, potom aj postupnosť čiastočných súčtov \( s_{n} \) je divergentná alebo nekonečný rad je divergentný a nemá súčet.
Ak je geometrická postupnosť \( a_{n} \) konvergentná, konvergencia postupnosti čiastočných súčtov \( s_{n} \) závisí od hodnoty kvocientu \( q \).
Ak je hodnota kvocientu geometrickej postupnosti \( q=1 \), je táto geometrická postupnosť \( a_{n} \) konvergentná. Ak bude \( a_{1} \) iné ako 0 , potom postupnosť čiastočných súčtov takejto geometrickej postupnosti bude mat nevlastnú limitu, teda \( +\infty \) či \( -\infty \), ide o divergentnú postupnosť. Nekonečný rad je teda divergentný a nemá súčet.
Ak je hodnota kvocientu geometrickej postupnosti \( \textcolor{teal}{-1<q<1} \), je táto geometrická postupnosť \( a_{n} \) konvergentná. Ak bude \( a_{1} \) iné ako 0 , potom bude postupnosť čiastočných súčtov konvergentná, bude mat vlastnú limitu. Nekonečný rad je tiež konvergentný, limita postupnosti sa nazýva súčet nekonečného radu.
Pre súčet konvergentného geometrického radu platí \( s=\frac{a_{1}}{1-q} \).