Ako to je so súčtom nekonečného geometrického radu?
Na začiatok si musíš pripomenúť, ako je to s limitou pri geometrických postupnostiach. Pri geometrickej postupnosti záleží na hodnote kvocientu q. Ak bude platiť \( -1<q<1 \) alebo \( q=1 \), potom bude geometrická postupnosť konvergentná (bude mat vlastnú limitu). Vo všetkých ostatných prípadoch bude geometrická postupnosť divergentná.
Ak je geometrická postupnosť \( a_{n} \) divergentná, potom je divergentná aj postupnosť čiastočných súčtov \( s_{n} \), alebo nekonečný rad je divergentný a nemá súčet.
Ak bude konvergentná geometrická postupnosť s kvocientom jeden, pre takúto postupnosť platí vzorec \( s_{n}=a_{1} \cdot n \). Ak bude: a) \( a_{1}>0 \), potom sa bude hodnota \( s_{n} s \) rastúcim \( n \) zvyšovať až do nekonečna, b) \( a_{1}<0 \), potom sa bude hodnota \( s_{n} \) s rastúcim \( n \) znižovať až do mínus nekonečna.
Postupnosť čiastočných súčtov \( s_{n} \) bude mat nevlastnú limitu, teda \( \infty \) či \( -\infty \), v oboch prípadoch je divergentná. Nekonečný rad je teda tiež divergentný a nemá súčet.
Nekonečný geometrický rad, v ktorom \( a_{1} \neq 0 \), je konvergentný vtedy, keď pre jeho kvocient \( q \) platí \( -1<q<1 \). Pre súčet konvergentného nekonečného geometrického radu platí: