A čo konvergencia pri aritmetických a geometrických postupnostiach?
Na pripomenutie: Postupnosť sa nazýva aritmetická vtedy, keď existuje také reálne číslo d, že pre každé prirodzené číslo \( n \) platí \( a_{n+1}=a_{n}+d \). Ak bude mat aritmetická postupnosť diferenciu \( d=0 \), potom bude táto postupnosť konštantná, a teda bude konvergentná. Ak bude diferencia \( d \neq 0 \), potom táto postupnosť nebude ohraničená, teda bude divergentná.
A čo geometrická postupnosť? Postupnosť sa nazýva geometrická vtedy, keď existuje také reálne číslo \( q \), že pre každé prirodzené číslo \( n \) platí \( a_{n+1}=a_{n} \cdot q \). Zapísané pomocou priameho vzorca pre \( n \)-tý člen \( a_{n}=a_{1} \cdot q^{n-1} \), kde:
Keď \( q \) bude väčšie ako jeden, výraz \( q^{n-1} \) bude rásť donekonečna, a postupnosť teda nebude ohraničená, bude divergentná.
Keď sa \( q \) bude rovnať jednej, výraz \( q^{n-1} \) bude konštantný (t. j. rovný jednej). Postupnosť preto bude konštantná, teda konvergentná. Hodnota limity sa rovná členu \( a_{1} \).
Keď q bude v intervale \( (-1 ; 1) \), postupnosť bude konvergentná, limitou bude nula.
Keď \( q \) bude rovné mínus jednej, a \( a_{1}=1 \), každý nepárny člen sa bude rovnať jednej a každý párny mínus jednej. Takáto postupnosť je divergentná.
Keď \( q \) bude menšie ako mínus jeden, absolútna hodnota \( q^{n-1} \) bude opäť rásť donekonečna. Rozdiel v porovnaní s predchádzajúcim prípadom je len v znamienku, ktoré bude pri každom druhom člene záporné. Postupnosť nebude ohraničená, bude divergentná.