Výpočet povrchu, objemu a hrán ihlanu
Urči povrch, objem a súčet dlžok všetkých hrán pravidelného štvorbokého ihlanu ABCDV, pre ktorý platí vzťah medzi výškou a stranou podstavy \( v=a \).
Povrch ihlanu: \( S=S_{p}+S_{p l} \rightarrow S=a^{2}+4 \cdot \frac{a \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2}}{2}=a^{2}+a^{2} \sqrt{3}=a^{2}(1+\sqrt{3}) \)
Objem ihlanu: \( V=\frac{S_{p} \cdot v}{3} \rightarrow V=\frac{a^{2} \cdot a}{3}=\frac{a^{3}}{3} \)
Súčet dĺ́zok všetkých hrán: \( I=4 a+4 a \sqrt{\frac{3}{2}}=4 a\left(1+\sqrt{\frac{3}{2}}\right) \)
Povrch ihlanu: \( S=S_{p}+S_{p l} \rightarrow S=a^{2}+4 \cdot \frac{a \cdot \frac{a \sqrt{5}}{2}}{2}=a^{2}+a^{2} \sqrt{5}=a^{2}(1+\sqrt{5}) \)
Objem ihlanu: \( V=\frac{S_{p} \cdot v}{3} \rightarrow V=\frac{a^{2} \cdot a}{3}=\frac{a^{3}}{3} \)
Súčet dĺ́zok všetkých hrán: \( I=4 a+4 a \sqrt{\frac{2}{3}}=4 a\left(1+\sqrt{\frac{2}{3}}\right) \)
Povrch ihlanu: \( S=S_{p}+S_{p l} \rightarrow S=a^{2}+4 \cdot \frac{a \cdot \frac{a \sqrt{5}}{2}}{2}=a^{2}+a^{2} \sqrt{5}=a^{2}(1+\sqrt{5}) \)
Objem ihlanu: \( V=\frac{S_{p} \cdot v}{3} \rightarrow V=\frac{a^{2} \cdot a}{2}=\frac{a^{3}}{2} \)
Súčet dĺ́zok všetkých hrán: \( I=4 a+4 a \sqrt{\frac{3}{2}}=4 a\left(1+\sqrt{\frac{3}{2}}\right) \)
Povrch ihlanu: \( S=S_{p}+S_{p l} \rightarrow S=a^{2}+4 \cdot \frac{a \cdot \frac{a \sqrt{5}}{2}}{2}=a^{2}+a^{2} \sqrt{5}=a^{2}(1+\sqrt{5}) \)
Objem ihlanu: \( V=\frac{S_{p} \cdot v}{3} \rightarrow V=\frac{a^{2} \cdot a}{3}=\frac{a^{3}}{3} \)
Súčet dĺ́zok všetkých hrán: \( I=4 a+4 a \sqrt{\frac{3}{2}}=4 a\left(1+\sqrt{\frac{3}{2}}\right) \)
Hrany v ihlane sa dajú rozdeliť na hrany dvoch typov. Jeden typ má dĺžku a a druhý typ tvorí hranicu medzi jednotlivými stenami pláštia. Podstavou je štvorec, čo je jednoduché. Vypočítaš druhú mocninu jeho strany. Podstavou je štvorec, takže je jednoduché vypočítat jeho obsah. Je to druhá mocnina jeho strany. Potom dopočítaš obsah plášťa ako súčin čísla štyri a obsahu trojuholníka. Potom pripočítaš obsah štvorca a dostaneš povrch telesa. Objem telesa získaš tak, že vynásobíš obsah podstavy výškou a vydelíš tromi.