Ako určiť všeobecnú rovnicu z parametrického vyjadrenia?
Pripomeňme si, že parametrické vyjadrenie roviny vyzerá takto:
\( \begin{array}{l} x=a_{x}+t \cdot u_{x}+s \cdot v_{x} \\ y=a_{y}+t \cdot u_{y}+s \cdot v_{y} \\ z=a_{z}+t \cdot u_{z}+s \cdot v_{z} \end{array} \)
Cieľom je zbaviť sa všetkých parametrov, teda vylúčiť z rovníc \( t \) a s. Spravíš teda úpravy sústavy rovníc tak, aby zostali len premenné \( x, y \) a \( z \). Z prvej rovnice sa dá vyjadriť parameter \( t \).
\( t=\frac{x-a_{x}-\left(s \cdot v_{x}\right)}{u_{x}} \)
Potom ho môžeš dosadiť do druhej a tretej rovnice, čím získaš dve rovnice s jedným parametrom.
\( \begin{array}{l} y=a_{y}+\frac{u_{y}}{u_{x}}\left(x-a_{x}-s \cdot v_{x}\right)+s \cdot v_{y} \\ z=a_{z}+\frac{u_{z}}{u_{x}}\left(x-a_{x}-s \cdot v_{x}\right)+s \cdot v_{z} \end{array} \)
Princíp už asi chápeš. Preto ti poviem len to, že opäť môžeš ekvivalentnými úpravami z prvej rovnice vyjadriť parameter \( s \) a dosadiť do druhej rovnice. Získaš tým rovnicu v tvare:
\( n_{x} \cdot x+n_{y} \cdot y+n_{z} \cdot z+n=0 \)
Vektor \( \vec{n}=\left(n_{x} ; n_{y} ; n_{z}\right) \) je tzv. normálový vektor roviny \( \boldsymbol{\sigma} \), teda taký vektor, ktorý je na rovinu kolmý, a neznáma \( n \) je ľubovoľná konštanta.