Věty o operacích s přirozenými čísly
Aby se vědělo, co vše se může dělat s přirozenými čísly, zavedly se věty o operacích, které ti v následujících řádcích představím. Budeš tak vědět, jaké úpravy s přirozenými čísly si můžeš dovolit a jaké jsou v matematice zakázané.
Věta o uzavřenosti
Věta o uzavřenosti operací sčítání a násobení říká, že pokud sečteš nebo vynásobíš mezi sebou přirozená čísla, výsledkem bude opět přirozené číslo, např. 5+2=7 nebo 3 \cdot 4=12. U odčítání a dělení tato věta neplatí, např. 6 - 7 = -1, číslo -1 není přirozené číslo.
Tuto větu můžeš napsat i v jazyce matematiků takto: je-li a, b \in \mathbb{N}, pak a+b \in \mathbb{N} (což lze přečíst jako: „jestliže je a a b přirozené číslo, pak i jejich součet je přirozené číslo") a je-li a, b \in \mathbb{N}, pak a \cdot b \in \mathbb{N} (čti: „jestliže je a a b přirozené číslo, pak i jejich součin je přirozené číslo").
Je důležité si uvědomit, že pokud sečteš nebo vynásobíš mezi sebou dvě přirozená čísla, pak znovu dostaneš přirozené číslo (výsledek bude ze stejné množiny - z \mathbb{N} ).
Věta o komutativnosti
Věta o komutativnosti udává, že při sčítání a násobení můžeš zaměnit pořadí čísel (sčítanců a činitelů), je tedy jedno, zda nejdříve napíšeš 4+5 nebo 5+4, výsledek bude vždy stejný, tedy přirozené číslo 9 . To samé je u násobení, např. 4 \cdot 5 je stejné jako 5 \cdot 4. Kdežto u odčítání či dělení již nemůžeš zaměnit pořadí, protože tyto matematické operace nejsou tzv. komutativní, např. 7 - 5 (je dva) není stejné jako 5 - 7 (rovná se minus dva).
První část této věty by v řeči matematiků vypadala takto: je-li a, b \in \mathbb{N}, pak platí a+b=b+a (v lidské řeči: „jestliže je a a b přirozené číslo, pak platí, že součet čísel a a b je roven součtu čísel b a a . ").
Druhou část věty o uzavřenosti Ize matematicky zapsat jako: je-li a, b \in \mathbb{N}, pak platí a \cdot b=b \cdot a (čti: „jestliže je a a b přirozené číslo, pak platí, že součin čísel a a b je roven součinu čísel b a a^{u} ).
Opravdu je nutné si uvědomit, že při sčítání a násobení přirozených čísel můžeš libovolně měnit pořadí sčítanců a činitelů, u odčítání a dělení to skutečně nesmíš!
Věta o asociativnosti
Věta o asociativnosti říká, že můžeš při sčítání a násobení libovolně změnit rozmístění závorek, např. 5+(2+3) je stejné jako (5+2)+3, anebo 3 \cdot(4 \cdot 5) je totéž jako (3 \cdot 4) \cdot 5. U odčítání a dělení tato věta neplatí, např. 3-(2-1), tj. 2, není stejné jako (3 - 2) - 1, rovná se 0.
Tuto větu samozřejmě Ize zapsat pomocí matematické symboliky: je-li a, b, c \in \mathbb{N}, pak platí (a+b)+c=a+(b+c) a je-li a, b, c \in \mathbb{N}, pak platí a \cdot(b \cdot c)=(a \cdot b) \cdot c.
Musím tě upozornit na jednu věc, která by tě mohla svést na cestě stát se dobrým matematikem či dobrou matematičkou, a to je častá chyba mých spolužáků, kteří si myslejí, že platí (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a} \cdot(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})! Určitě je to špatně, takže pozor na to.
Věta o distributivnosti
Věta o distributivnosti jen říká, že můžeš roznásobovat závorky, např. 3 \cdot(4+6)=3 \cdot 4+3 \cdot 6.
Věta o neutrálnosti
Věta o neutrálnosti pro operaci násobení říká, že existuje jeden prvek (číslo), který při násobení nezmění hodnotu čísla. Tím prvkem je číslo 1, např. 4 \cdot 1 = 4; 213 \cdot 1 = 213. At vynásobíš jakékoliv číslo hodnotou 1 , tak vždy dostaneš to samé číslo.