Mojvreova věta? Ne, Moávrova věta!
V této podkapitole se bude probírat hlavně problematika Moivreovy věty (čti: „Moávrovy věty ”). Minulá látka se zabývala násobením a dělením komplexních čísel. Konkrétně jsem ti tam ukazoval případ, kdy násobíš více komplexních čísel najednou.
Pokud chceš vědět, co je Moivreova věta, musíš uvažovat jako Abraham de Moivre, který odvodil tuto větu už na počátku 18. století. Moivreova věta se zabývá násobením jednoho a toho samého komplexního čísla, jedná se o komplexní číslo v goniometrickém tvaru, které je umocněné přirozeným číslem n. Budeš muset počítat s tím, že |z|=1, což je speciální případ, takzvaná komplexní jednotka. Vzorec pro samotnou větu tedy vypadá následovně:
(\cos \varphi+i \sin \varphi)^{n}=\cos (n \cdot \varphi)+i \sin (n \cdot \varphi)
Takto sice vypadá umocnění komplexního čísla z, které má vzdálenost od počátku jedna, ale co když bude vzdálenost od počátku jiná, tedy |z| nebude jedna? Jednoduše použiješ pravidlo pro počítání s mocninami a dostaneš tenhle vzoreček:
[|z|(\cos \varphi+\mathrm{i} \sin \varphi)]^{n}=|z|^{n}(\cos n \varphi+\mathrm{i} \sin n \varphi)
Nejlepší bude, když si zkusíš pár příkladů, na kterých zjistíš, jaký má Moivreova věta velký dopad na počítání s komplexními čísly.