Jak na násobení komplexních čísel v goniometrickém tvaru?
V goniometrickém tvaru lze jednoduše určit součin a podíl komplexních čísel. Máš dána dvě komplexní čísla z_{1}=\left|z_{1}\right|\left(\cos \varphi_{1}+\mathrm{i} \sin \varphi_{1}\right) a z_{2}=\left|z_{2}\right|\left(\cos \varphi_{2}+\mathrm{i} \sin \varphi_{2}\right), na nich ti názorně ukážu, jak se komplexní čísla v goniometrickém tvaru násobí.
z_{1} \cdot z_{2}=\left|z_{1}\right| \cdot\left|z_{2}\right|\left[\left(\cos \varphi_{1} \cos \varphi_{2}-\sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2}\right)+\mathrm{i}\left(\cos \varphi_{1} \sin \varphi_{2}+\sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2}\right)\right]
To, co vyšlo, se dá určitým způsobem ještě upravit, a pokud si vzpomeneš na součtové vzorce, které máš za sebou již z goniometrie, tak za první závorku můžeš dosadit \cos \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right). Toto plyne ze vzorce \cos (x+y)=\cos x \cdot \cos y-\sin x \cdot \sin y, akorát tam dosadíš místo x a y argumenty \varphi. Za druhou závorku dosadíš zase \sin \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right), což vychází ze \sin (x+y)=\sin x \cdot \cos y+\cos x \cdot \sin y. Z toho vyplývá:
z_{1} \cdot z_{2}=\left|z_{1}\right| \cdot\left|z_{2}\right|\left[\cos \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)+\mathbf{i} \sin \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)\right]
Najednou dostáváš opravdu jednoduchý vzorec. Jestliže násobíš dvě komplexní čísla v goniometrickém tvaru, musíš mezi sebou vynásobit jejich absolutní hodnoty a sečíst jejich argumenty goniometrických funkcí.