Co to je? Zase goniometrie?
Dalším způsobem, jak zapisovat komplexní čísla, je goniometrický tvar. Nyní znáš algebraický tvar, který má obecný zápis z=a+b \mathbf{i}.
Se znázorněním komplexních čísel už máš nějaké ty zkušenosti. Všimni si úhlu \varphi (čti: „fí”), díky kterému se dá komplexní číslo také určit. Tento úhel ti určí zápis goniometrického tvaru.
Úhel \varphi je orientovaný úhel, jehož počáteční rameno je kladná poloosa x a koncové rameno je polopřímka začínající v počátku Gaussovy roviny a procházející obrazem komplexního čísla. Na obrázku je koncové rameno označováno jako r, ale žádný jiný název nemá, protože r můžeš vyjádřit jako absolutní hodnotu komplexního čísla, kdy r=|z|.
Je tu ještě drobný zádrhel, kterým je číslo z=0, nelze ho totiž v goniometrickém tvaru pomocí r a \varphi vyjádřit, a proto se uvádí do podmínek jako z \neq 0. Reálné číslo určující velikost orientovaného úhlu se nazývá argument komplexního čísla. Z obrázku můžeš spočítat a i b pomocí funkce sinus a kosinus.
\sin \varphi=\frac{b}{|z|} \rightarrow b=|z| \cdot \sin \varphi
\cos \varphi=\frac{a}{|z|} \rightarrow a=|z| \cdot \cos \varphi
Díky úhlu a vzdálenosti komplexního čísla od počátku Ize vyjádřit reálnou a imaginární část ( a a b). Můžeš tak tato vyjádření dosadit do algebraického tvaru.
z=a+b \mathbf{i}=|z| \cdot \cos \varphi+(|z| \cdot \sin \varphi) \mathbf{i}=|z| \cdot \cos \varphi+\mathbf{i} \cdot|z| \cdot \sin \varphi=|z| \cdot(\cos \varphi+\mathbf{i} \sin \varphi)
Za a se dosadí |z| \cdot \cos \varphi a za b zase |z| \cdot \sin \varphi, potom už jen stačí vytknout |z| a goniometrický tvar je na světě.
z=|z| \cdot(\cos \varphi+\mathrm{i} \sin \varphi)
z=|z|\left(\frac{a}{|z|}+\frac{b}{|z|} \mathrm{i}\right)
Argument \varphi se opakuje každé dvě \pi (čti: „pí”), takže před převáděním do algebraického tvaru musíš nejdříve převést úhel do základního tvaru. Při převádění komplexních čísel na tvar goniometrický nebo zpátky na algebraický je důležité znát tabulku hodnot goniometrických funkcí pro sinus a kosinus.
Nejlepší je si reálně zkusit to, jak převádět komplexní čísla na goniometrický tvar, než se pustíš do něčeho složitějšího.