A co takhle dělení komplexních čísel?
Před dělením je třeba si vysvětlit další pojem. Komplexní číslo sdružené s číslem a+b \mathbf{i} je číslo a-b \mathbf{i}, takové komplexní číslo se značí \bar{z}. Je to trochu podobné jako u čísla opačného, akorát v tomto prípadě měníš znaménko jen u imaginární části.
Pro výpočet podílu dvou komplexních čísel z_{1} a z_{2}, \mathrm{kdy} z_{1}, z_{2} \neq 0, je potřeba celý zlomek rozšířit komplexním číslem sdruženým ke komplexnímu číslu ve jmenovateli. A to kvůli tomu, aby ve jmenovateli nezůstala imaginární jednotka. Obecně to vypadá takto:
\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{a+b \mathbf{i}}{c+d \mathbf{i}}=\frac{a+b \mathbf{i}}{c+d \mathbf{i}} \cdot \frac{c-d \mathbf{i}}{c-d \mathbf{i}}=\frac{(a+b \mathbf{i}) \cdot(c-d \mathbf{i})}{c^{2}+d^{2}}
Výše je zmíněný podíl komplexních čísel z_{1}=a+b i a z_{2}=c+d i. Všimni si, jak při výpočtu podílu musíš celý zlomek rozšířit komplexním číslem sdruženým ke jmenovateli tak, aby imaginární jednotka i nezůstala ve jmenovateli.
To je díky tomu, že součin komplexního čísla a komplexně sdruženého čísla je nezáporné reálné číslo. Obecně to vypadá jako v tomto vzorečku:
z \cdot \bar{z}=(a+b \mathbf{i}) \cdot(a-b \mathbf{i})=a^{2}-a b \mathbf{i}+a b \mathbf{i}-b^{2} \mathbf{i}^{2}=a^{2}+b^{2}, \text { takže jednoduše: }
z \cdot \bar{z}=a^{2}+b^{2}
Jednoduchým příkladem může být třeba: (1+2 i) \cdot(1-2 i)=1^{2}+2^{2}=5. Pokud to vypočítáš jako roznásobení závorek, vyjde to stejně: (1+2 \mathbf{i}) \cdot(1-2 \mathbf{i})=1-2 \mathbf{i}+2 \mathbf{i}-4 \mathbf{i}^{2}=1+4=5.