Jak teda můžu nakládat s komplexními čísly?
Nyní už víš, jak komplexní čísla vypadají, a znáš jejich nejzákladnější vlastnosti. Také víš, že i^2 se rovná -1. Můžeš se tedy pustit do sčítání, odčítání, násobení a následně dělení komplexních čísel.
Pravidla pro operace s exponenty jsou stejná jako pro mocniny reálných čísel.
\begin{aligned}z^{r} \cdot z^{s} & =z^{r+s} \\\left(z_{1} \cdot z_{2}\right)^{r} & =z_{1}^{r} \cdot z_{2}^{r} \\\left(z^{r}\right)^{s} & =z^{r \cdot s}\end{aligned}
Pro mocniny imaginární jednotky platí jednoduchý princip, který je založený na předpokladu, že i² =-1.
\mathrm{i}^{2}=-1 \quad \mathrm{i}^{3}=\mathrm{i}^{2} \cdot \mathrm{i}=-1 \cdot \mathrm{i}=-\mathrm{i} \quad \mathrm{i}^{4}=\mathrm{i}^{2} \cdot \mathrm{i}^{2}=1 \quad \mathrm{i}^{5}=\mathrm{i}^{2} \cdot \mathrm{i}^{2} \cdot \mathrm{i}=\mathrm{i}
Obecně pak platí pro přirozené exponenty k :
\mathrm{i}^{4 k}=1 \quad \mathrm{i}^{4 k+1}=\mathrm{i} \quad \mathrm{i}^{4 k+2}=-1 \quad \mathrm{i}^{4 k+3}=-\mathrm{i}
Z obecného zápisu okamžitě vyplývá, že při určování výsledku umocňování imaginární jednotky tě zajímá pouze zbytek exponentu po dělení čtyřmi.
Například pokud máš číslo \mathbf{i}^{249} a víš, že zbytek z 249 po dělení čtyřmi je 1. Číslo 249 rozložíš na číslo, které můžeš vydělit čtyřmi, a přičteš zbytek \mathbf{i}^{249}=\mathbf{i}^{4 \cdot 62+1}=1 \cdot \mathbf{i}^{1}=\mathbf{i}.