Jak zní binomická věta?
Binomická věta je zobecněním umocněného dvojčlenu a+b přirozeným číslem n. Pro všechna reálná čísla a, b a pro každé přirozené číslo n tedy platí:
(a+b)^{n}=\begin{pmatrix}n \\0\end{pmatrix} a^{n}+\begin{pmatrix}n \\1\end{pmatrix} \cdot a^{n-1} \cdot b+\begin{pmatrix}n \\2\end{pmatrix} \cdot a^{n-2} \cdot b^{2}+\ldots+\begin{pmatrix}n \\k\end{pmatrix} \cdot a^{n-k} \cdot b^{k}+\ldots+\begin{pmatrix}n \\n-1\end{pmatrix} \cdot a \cdot b^{n-1}+\begin{pmatrix}n \\n\end{pmatrix} b^{n}
Takto vypadá binomická věta pěkně rozepsaná. Můžeš si všimnout, jak ti tam figuruje kombinační číslo, které vždycky vyjde stejně jako hodnoty daného řádku v Pascalově trojúhelníku.
Následující vztah ti vyjadřuje pořád jednu a tu samou binomickou větu, akorát je zapsána pomocí sumy. Když budeš tento vzorec rozepisovat, tak začínáš u k na nule, pak 1, 2 a tak dále až do hodnoty n.
(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n \\k\end{pmatrix} \cdot a^{n-k} \cdot b^{k}
Jednodušeji si to vše zapamatuješ, když opravdu pochopíš a pořádně se budeš soustředit na to, jak binomická věta funguje, jak se kombinační čísla a exponenty jednotlivých členů mění. Skoro o ničem jiném to ani není.
Binomická věta vždy začne kombinačním číslem \begin{pmatrix}n \\ 0\end{pmatrix} a skončí \begin{pmatrix}n \\ n\end{pmatrix}, což v obou případech vyjde 1.