Jak je to s mocninami dvojčlenu doopravdy?
Už minulosti umíš řešit různé algebraické úlohy, tentokrát budeš potřebovat umět umocnit dvojčlen a+b přirozeným číslem, tj. (a+b)^{n}. Pravděpodobně znáš vzorce pro výpočet první, druhé a třetí mocniny tohoto dvojčlenu
(a+b)^{1}=a+b
(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}
(a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}
Dopočítáš si ještě čtvrtou mocninu dvojčlenu a+b:
(a+b)^{4}=(a+b)^{3} \cdot(a+b)=\left(a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}\right) \cdot(a+b)=
=a^{4}+3 a^{3} b+3 a^{2} b^{2}+a b^{3}+a^{3} b+3 a^{2} b^{2}+3 a b^{3}+b^{4}=
=a^{4}+4 a^{3} b+6 a^{2} b^{2}+4 a b^{3}+b^{4}
Možná tě už pár věcí do oka trklo. Některé mocniny se u členu a a b tak hezky mění a pak když se podíváš na koeficienty u jednotlivých členů, tak ty se vlastně vyskytují naprosto stejně jako u Pascalova trojúhelníku, který znáš z minulé podkapitoly.
Je na první pohled vidět, jak hodnoty koeficientů odpovídají právě jednomu řádku Pascalova trojúhelníku. Stejně tak můžeš pokračovat i u vyšších mocnin dvojčlenu a+b.
Když budeš chtít vypočítat například (a+b)^{7}, tedy sedmou mocninu dvojčlenu, tak jednotlivé koeficienty u členů budou odpovídat osmému řádku v Pascalově trojúhelníku. Tím pádem víš nejen, kolik bude ve výsledku členů, ale i hodnoty jejich koeficientů. Poslední, co ti zbývá vědět, jsou mocniny členů a a b. Na ty přijdeš pomocí binomické věty.