Objem kuželu z rotace
Urči objem kuželu, který vznikne rotací přímky\( \frac12x-1 \) kolem osy \( x \)na intervalu \( \large \left \langle2;6 \right \rangle \).
\( \large V=\pi\int\limits_2^6\left(\frac{x^2}{4}-x+1\right){d}x=\pi\left\lbrack\frac{x^3}{12}-\frac{x^2}{2}+x\right\rbrack_2^6 \)
\( \large{\displaystyle=\pi\cdot\left(\Large\frac{6^3}{12}-\Large\frac{6^2}{2}+6\right)-\pi\cdot\left(\Large\frac{2^3}{12}-\Large\frac{2^2}{2}+2\right)=\pi\cdot\left(18-18+6-\Large\frac{2}{3}+2-2\right)=\Large\frac{10}{3}\pi j^3} \)
\( \large V=\pi\int\limits_2^6\left(\frac{x^2}{4}-x+1\right){d}x=\pi\left\lbrack\frac{x^3}{12}-\frac{x^2}{2}+x\right\rbrack_2^6 \)
\( \large{\displaystyle=\pi\cdot\left(\Large\frac{6^3}{12}-\Large\frac{6^2}{2}+6\right)-\pi\cdot\left(\Large\frac{2^3}{12}-\Large\frac{2^2}{2}+2\right)=\pi\cdot\left(18-18+6-\Large\frac{2}{3}+2-2\right)=\Large\frac{16}{3}\pi j^3} \)
\( \large V=\pi\int\limits_2^6\left(\frac{x^2}{4}-x+1\right){d}x=\pi\left\lbrack\frac{x^3}{12}-\frac{x^2}{2}+x\right\rbrack_2^6 \)
\( \large{\displaystyle=\pi\cdot\left(\Large\frac{6^3}{12}-\Large\frac{6^2}{2}+6\right)-\pi\cdot\left(\Large\frac{2^3}{12}-\Large\frac{2^2}{2}+2\right)=\pi\cdot\left(18-18+6-\Large\frac{2}{3}+2-2\right)=\Large\frac{14}{3}\pi j^3} \)
\( \large V=\pi\int\limits_2^6\left(\frac{x^2}{4}-x+1\right){d}x=\pi\left\lbrack\frac{x^3}{12}-\frac{x^2}{2}+x\right\rbrack_2^6 \)
\( \large{\displaystyle=\pi\cdot\left(\Large\frac{6^3}{12}-\Large\frac{6^2}{2}+6\right)-\pi\cdot\left(\Large\frac{2^3}{12}-\Large\frac{2^2}{2}+2\right)=\pi\cdot\left(18-18+6-\Large\frac{2}{3}+2-2\right)=\Large\frac{18}{3}\pi j^3} \)
Napíšeš si vzoreček pro výpočet objemu rotačního tělesa a vypíšeš si hodnoty ze zadání. Hodnoty pak dosadíš do vzorečku. Vzniklou závorku v integrandu roznásobíš a pak integrál vypočítáš.